1、第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示命题探究1圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2点与圆的位置关系圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)(x0a)2(y0b)2r2点M在圆上；(2)(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外；(3)(x0a)2(y0b)20.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()(5)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)
2、0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2圆心在曲线yx2(x0)上，并且与直线y1及y轴都相切的圆的方程是()A(x2)2(y2)22B(x1)2(y2)24C(x2)2(y1)24D(x2)2(y1)24答案D解析设圆心的坐标为，据题意得x21x，解得x2，此时圆心的坐标为(2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x2)2(y1)24.3直线yx1上的点到圆x2y24x2y40的最近距离为()A2 B.1C21 D1答案C解析圆心(2,1)到已知直线的距离为d2，圆的半径为r1，故所求距离dmin21.考法综述求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系
3、等主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题命题法1求圆的方程典例1(1)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x5)2y25或(x5)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25(2)求经过A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2xy30上的圆的方程解析(1)设圆心坐标为(a,0)(a0)，因为圆与直线x2y0相切，所以，解得a5，因此圆的方程为(x5)2y25.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心.解之，得圆的一般方程为x2y28x10y310
4、.解法二：从形的角度，AB为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB中垂线x4上，则由得圆心P(4,5)半径r|PA|.圆的标准方程为(x4)2(y5)210.答案(1)D(2)见解析【解题法】用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程命题法2与圆有关的最值问题典例2已知实数x，y满足方程x2y24x10，求：(1)的最大
5、值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解原方程变形为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，半径r的圆(1)设k，即ykx，由题知，直线ykx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径.k23，即k，的最大值为，最小值为.(2)设yxb，则当直线yxb与圆相切时，b取最值，由，得b2，yx的最大值为2，最小值为2.(3)令d表示原点与点(x，y)的距离，原点与圆心(2,0)的距离为2，dmax2，dmin2.x2y2的最大值为(2)274，最小值为(2)274.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t形式的最值问题，可转化为动
6、直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x02,2y0)因为P点在圆x2y24上，所以(2x02)2(2y0)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y
7、21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.1过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10答案C解析设过A，B，C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，则，解得D2，E4，F20，所求圆的方程为x2y22x4y200，令x0，得y24y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1y24，y1y220，所以|MN|y1y2|4.故选C
8、.2如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2y21相交于M，N两点，下列三个结论：；2；2.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x1)2(y)22(2)解析(1)依题意，设C(1，r)(r为圆C的半径)，因为|AB|2，所以r，所以圆心C(1，)，故圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)由，解得或，因为B在A的上方，所以A(0，1)，B(0，1)不妨令直线MN的方程为x0(或y1)，M(0，1)，N(0,1)，所以|MA|，|MB|2，|NA|2，
9、|NB|.所以1，1，所以，所以(1)1(1)2，(1)112，正确结论的序号是.3.设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_答案1,1解析解法一：当x00时，M(0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(1,0)或N(1,0)，使OMN45.当x00时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.若在圆上存在N，使得OMN45，应有OMBOMN45，AMB90，1x00或0x01.综上，1x01.解法二：过O作OPMN，P为垂足，OPOMsin451，OM，OM22，x12，x1，1x01.4若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C
10、的标准方程为_答案x2(y1)21解析因为(1,0)关于yx的对称点为(0,1)，所以圆C是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2(y1)21.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.注意点切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解. 1思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(3)过圆O：x2y2r2
11、外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()答案(1)(2)(3)2对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心答案C解析x2y22的圆心(0,0)到直线ykx1的距离d1，又r，0d0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)答案D解析当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x5r，所以0r2，又y4x0，即r2412，所以0r4，又0r2，所以2rr
12、，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：注意点判别式与两圆的位置关系在利用判别式判断两圆的位置关系时，0是两圆相交的充要条件，而0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，0是两圆外离(内含)的必要不充分条件. 1思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()答案(1)(2)(3)(4)2圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的内公切线有且仅
13、有()A1条 B2条C3条 D4条答案B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3若圆O：x2y24与圆C：x2y24x4y40关于直线l对称，则直线l的方程是()Axy0 Bxy0Cxy20 Dxy20答案C解析圆x2y24x4y40，即(x2)2(y2)24，圆心C的坐标为(2,2)直线l过OC的中点(1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y1x1，即xy20.故选C.考法综述根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题命题法圆与圆的位置关系典例(1)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A
14、内切 B相交C外切 D相离(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析(1)两圆心之间的距离为d，两圆的半径分别为r12，r23.则r2r11d0)的公共弦长为2，则a_.答案1解析两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y，如图，由已知得|AC|，|OA|2，|OC|1，a1.创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等常见的有与集合问题相交汇、与线性
15、规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等创新例题设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)答案D解析由圆的方程得圆心为(1,1)，半径为r1，直线与圆相切，圆心到直线的距离为d1.整理得mn1mn2设mnx，则有x1解得，x22或x22.则mn的取值范围是(，2222，)，故选D.创新练习1M(x，y)|y，a0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.答案2222解析由已知可得集合M表示圆x2y22a2的上半部分，而集合N表示圆心(1，)半
16、径为a的圆，若MN，则圆N与半圆M有公共点，设两圆的圆心距为d，且d2.则(1)ad(1)a，解得a22或a22.2如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_答案1解析根据条件画出可行域如图设z|PQ|表示圆上的点到可行域的距离当点P在A处时，求出|PQ|，即|PQ|min1.创新指导1准确转化：解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决2方法选取：对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，对于涉及参数的问题，要注意参数的变化对问题的影响，以便
17、确定是否需要分类讨论已知圆C：(x1)2(y2)24，则过点P(1,1)的圆的切线方程为_错解错因分析没有对k进行分类讨论，从而遗漏了k不存在的情况正解(1)当直线的斜率不存在时，方程为x1.此时圆心C(1，2)到直线x1的距离d|11|2.故该直线为圆的切线(2)当直线的斜率存在时，设为k，则其方程为y1k(x1)，即kxyk10.由已知圆心到直线的距离等于圆的半径，即2，整理得2，解得k，故此时切线方程为xy0，即5x12y70，综上，圆的切线有两条：x1或5x12y70.答案x1或5x12y70心得体会时间：50分钟基础组1.2016衡水二中仿真已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，
18、且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28答案A解析根据题意，直线xy10与x轴的交点为得(1,0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆的方程为(x1)2y22.故选A.22016枣强中学期中已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为()A.2y2 B.2y2Cx22 Dx22答案C解析由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣孤所对圆心角为，设圆心为(0，a)，半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.3
19、2016衡水二中热身圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x21的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为()Ax2(y1)21 Bx223Cx22 Dx2(y2)24答案A解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60，结合图形可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x2(y1)21，选A.42016武邑中学期末将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2y22x4y0相切，则实数的值为()A3或7 B2或8C0或10 D1或11答案A解析由题意可知，将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位长度后，所得直线l的方程为2(x1)y0.由已知条件
20、知圆的圆心为O(1,2)，半径为.解法一：直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离等于圆的半径，即，解得3或7.解法二：设直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知COl，所以21.又C(x，y)在圆上，满足方程x2y22x4y0，解得切点坐标为(1,1)或(3,3)又C(x，y)在直线2(x1)y0上，则3或7.5. 2016衡水二中一轮检测已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y22y3，直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，若直线l与圆C交A，B两点，则OAB的面积为()A1 B.C2 D2答案A解析圆C的标准方程为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径为2，直
21、线l的斜率为1，方程为xy10.圆心到直线l的距离d，弦长|AB|222，又坐标原点O到AB的距离为，OAB的面积为21，故选A.62016衡水二中猜题已知实数x，y满足x2y24x6y120，则|2xy2|的最小值是()A5 B4C.1 D5答案A解析将x2y24x6y120化为(x2)2(y3)21，|2xy2|，几何意义表示圆(x2)2(y3)21上的点到直线2xy20的距离的倍，要使其值最小，只使最小，由直线和圆的位置关系可知min11，|2xy2|的最小值为(1)5，选A.72016衡水二中猜题已知直线axbyc10(bc0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8C
22、4 D2(注：此题条件还经常论述为“圆x2y22y50关于直线axbyc10对称”)答案A解析依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有bc1，(bc)5529，当且仅当，即b2c时取等号，因此的最小值是9，选A.8. 2016衡水二中一轮检测已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()A(，) B，)C，2) D，2)答案C解析如右图，当|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OAOB，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，此时k；当k时，|，又直线与圆x2y24有两个不同的交点，故k0)，且被x轴截得的弦M
23、N的长为2a，若MAN45，则圆C的方程为_答案(xa)2(ya)22a2或(xa)2(ya)22a2解析设圆C的圆心坐标为(x，y)，依题意，圆C的半径r，又圆C被x轴截得的弦MN的长为2a，所以|y|2a2r2，即y2a2x2(ya)2，化简得x22ay.因为MAN45，所以MCN90.从而ya，xa，圆的半径ra，所以圆C的方程为(xa)2(ya)22a2或(xa)2(ya)22a2.112016枣强中学周测设圆C：(xk)2(y2k1)21，则圆C的圆心轨迹方程为_，若k0，则直线l：3xy10截圆C所得的弦长为_答案2xy10解析由圆的方程(xk)2(y2k1)21得圆心坐标C(k,
24、2k1)，令消去k，得2xy10，即圆C的圆心轨迹方程为2xy10；当k0时，圆的方程为x2(y1)21，圆心到直线l：3xy10的距离d，则直线l：3xy10截圆C所得的弦长为2.122016冀州中学预测已知圆O的方程为x2y22，圆M的方程为(x1)2(y3)21，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是_答案1或7解析由圆的性质易知，当切线过圆M的圆心(1,3)时，|PQ|取最大值，这个最大值即为圆M的直径，设此直线方程为y3k(x1)，即kxyk30(k显然存在)由得k1或7.能力组13.2016衡水二中月考圆C：(x
25、1)2y225，过点P(2，1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A10 B9C10 D9答案C解析因为圆的方程为(x1)2y225，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r5，因为P(2，1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦因为|PC|，所以与PC垂直的弦长为22.因此所求四边形的面积S10210.142016枣强中学模拟在圆x2y25x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d，那么n的取值集合为()A4,5,6,7 B4,5,6C3,4,5,6 D3,4,5,6,7答案A解析圆的标准
26、方程为2y2，圆心为，半径r，则最大的弦为直径，即an5，当圆心到弦的距离为，即点为垂足时，弦长最小为4，即a14，由ana1(n1)d得d，d，即3n16，4n7，即n4,5,6,7，选A.152016衡水二中期末已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值解(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r2，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当过点M的直线的斜率存在
27、时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.方程为y1(x3)，即3x4y50.故过点M的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，224，解得a.16. 2016武邑中学猜题在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值解(1)曲线yx26x1与坐标轴的交点为(0,1)，(32，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1，则圆的半径为3.所以圆的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2(2a8)xa22a10，由已知可得判别式5616a4a20.由根与系数的关系可得x1x24a，x1x2.由OAOB可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a.所以y1y2x1x2a(x1x2)a2，即2x1x2a(x1x2)a20.由可得a1，满足0，故a1.
