1、中档题满分练(三)1已知向量a(2sin x，cos x)，b(cos x，2cos x)，f(x)ab1.(1)求函数f(x)的最小正周期，并求当x时f(x)的取值范围；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g1，a2，bc4，求ABC的面积2.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位：万元)，将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，年上缴税收范围是0，100，样本数据分组为0，20)，20，40)，40，60)，60，80)，80，100(1)求直方图中x的值；(2)如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政
2、策优惠，若共抽取企业1 200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；(3)从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)3等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足(如图)，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB成直二面角，连接A1B、A1C.(1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由4(2015无锡质检)各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知点(an1，an)(nN*，n2
3、)在函数y3x的图象上，且S480.(1)求数列an的通项公式；(2)在an与an1之间插入n个数，使这n2个数组成公差为dn的等差数列，设数列的前n项和为Pn.求Pn；若16Pn成立，求n的最大正整数值中档题满分练(三)1解(1)f(x)ab12sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sinf(x)的最小正周期T.当x时，2x，sin，因此f(x)的取值范围是，2(2)依题意，g(x)f2sin2cos 2x.由g1，得2cos A1，cos A，0A，A，在ABC中，a2b2c22bccos A(bc)23bc4423bc，则bc4，故SABCbcsin A4sin.2
4、解(1)由频率分布直方图，得20x0.025200.0 065200.0032021.x0.0 125.(2)企业年上缴税收不少于60万元的频率为0.0032020.12，1 2000.12144(个)因此1 200个企业中估计有144个可申请政策优惠(3)法一X的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每个企业上缴税收少于20万元的概率为，P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4).X01234PE(X)012341.法二X可能取值为0，1，2，3，4，由(1)可得某个企业缴税收少于20万元的概率为，因此XB，所以分布列为P(xk)C(k0，1，2，3，4)，E(X
5、)41.3(1)证明因为等边ABC的边长为3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理得DE.因为AD2DE2AE2，所以ADDE，折叠后A1DDE.因为二面角A1DEB是直二面角，所以平面A1DEBCED.又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，又BDDED，所以A1D平面BCED.(2)解由(1)可知EDDB，A1D平面BCED.则DB，DE，DA1两两垂直，以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图作PHBD于H，连结A1H.设PB2a(02a3)则BHa，PHa，DH2a.所以A1(
6、0，0，1)，P(2a，a，0)，E(0，0)所以(a2，a，1)，因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0)，因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，所以sin 60.解得a，即PB2a，满足02a3，所以在线段BC上存在点P，使得直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时线段PB.4解(1)依题意，an3an1(nN*，n2)，数列an为等比数列，且公比q3.又S480，a12.因此数列an的通项公式an23n1.(2)由(1)知，an123n，依题意，dn，.Pn，(*)则Pn，(*)(*)(*)，Pn.Pn.因此16Pn1515，解不等式15，3n81，则n4.所以n的最大正整数为4.
