1、第二节导数的应用(一)全盘巩固1已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)解析：选C依题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又abf(b)f(a)2(2014淄博模拟)若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则导函数f(x)的图象不可能是()解析：选D若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说
2、导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f(x)的图象不可能是D.3函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，) D(0，)解析：选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，可得0f，排除A；取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除B；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除C.5(2014温州模拟)定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f Bf(1)f D.ff解析：选D由f(x)f(x)tan x，得
3、cos xf(x)f(x)sin x0，即在上为单调递增函数，故选D.6(2013湖北高考)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2) Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2) Df(x1)解析：选Df(x)ln x2ax1，依题意知f(x)0有两个不等实根x1，x2.即曲线y11ln x与y22ax有两个不同交点，如图由直线yx是曲线y11ln x的切线，可知：02a1，且0x11x2.a.由0x11，得f(x1)x1(ln x1ax1)0，当x1x0，当xx2时，f(x)f(1)a.7(2014郑州模拟)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单
4、调递减，则实数a的值为_解析：f(x)x3x2ax4，f(x)x23xa.又函数f(x)恰在1,4上单调递减，1,4是f(x)0的两根，a144.答案：48已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则mn_.解析：f(x)3x26mxn，由已知可得或当时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立与x1是极值点矛盾，当时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，显然x1是极值点，符合题意，mn11.答案：119已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如表，x1045f(x)1221f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，下列是关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1,2
5、；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.12已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取
6、值范围；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1.当a0时，f(x)，x0，f(x)0.函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)0，得0，x0，ax2x10，14a.()当0，即a时，得ax2x10，故f(x)0，函数f(x)的单调递增区间为(0，)()当0，即a时，方程ax2x10的两个实根分别为x1，x2.若a0，则x10，x20.函数f(x)的单调递增区间为(0，)，若a0，则x10，此时，当x(0，x2)时，f(x)0，当x(x2，)时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a0时，函数f(x)的单调
7、递增区间为(0，)，无单调递减区间(2)由(1)得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增，故函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，则f(x)有极大值，极大值为f (x2)ln x2axx2，其中x2.而axx210，即axx21，f(x2)ln x2.设函数h(x)ln x(x0)，则h(x)0，则h(x)ln x在(0，)上为增函数又h(1)0，则h(x)0等价于x1.f(x2)ln x20等价于x21.即当a0时，方程ax2x10的正根大于1.设(x)ax2x1，由于(x)的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，1)，对称轴x0，则只需(1)0，
8、即a110，解得a0，所以0a2.故存在满足条件的实数a，且实数a的取值范围为(0,2)冲击名校设函数f(x)xex.(1) 求f(x)的单调区间与极值；(2) (2)是否存在实数a，使得对任意的x1、x2(a，)，当x1成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)(1x)ex.令f(x)0，得x1.f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的单调递减区间是(，1)，单调递增区间是(1，)；f(x)极小值f(1).(2) 设g(x)，由题意，对任意的x1、x2(a，)，当x1g(x1)，即yg(x)在(a，)上是单调递增函数(3) 又g(x)，x(a，)，g(x)0.令h(x)x2exaxexaexaea，h(x)2xexx2exa(1x)exaexx(x2)exa(x2)ex(x2)(xa)ex.若a2，当xa时，h(x)0，h(x)为(a，)上的单调递增函数，h(x)h(a)0，不等式成立若a2，当x(a，2)时，h(x)0，h(x)为(a，2)上的单调递减函数，x0(a，2)，h(x0)h(a)0，与x(a，)，h(x)0矛盾综上，a的取值范围为2，)
