1、矩阵的简单应用设1、2是二阶矩阵A的两个不同的特征值，1、2是A的属于特征值1、2的特征向量，对于 任意的非零向量，设t11t22(t1，t2R)，则有Ant11t22(nN*)An(nN*)的求法例1已知矩阵M，.(1)求出矩阵M的特征值和特征向量；(2)计算M4，M10，M100；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？思路点拨(1)先求出矩阵M的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用Ant11t22(1、2是矩阵A的特征值，1、2是1、2的特征向量，t11t22)计算；(3)由Mn中n的变化情况与计算结果即可发现规律精解详析(1)矩阵M的特征多项式为f()(1)
2、(2)，令f()0，解得11，22.所以它们对应的特征向量为1，2.(2)令m1n2，则有mn，解得m2，n1，即212.所以M4M4(212)2M41M4221221424.同理可得，M10，M100.(3)当n很大时，可近似的认为MnMn(212)Mn22n.求An的一般步骤为：第一步：求矩阵A的特征值和相应的特征向量；第二步：把向量用1，2线性表出，即t11t22；第三步：由公式计算Ant11t22.1已知矩阵A的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量，求A100.解：A1001003100.2给定矩阵A，B.(1)求A的特征值1，2及对应的特征向量1，2；(2)求A4B.解：(1)设为
3、A的特征值，由f()(2)30，解得11，23.当11时，由 ，得A属于特征值1的特征向量为1.同理，A属于特征值3的特征向量为2.(2)设Bm1n2，得解得所以B12.因此A4BA4(12)(1)41342.矩阵方幂An的求法例2设A，利用矩阵的特征值和特征向量计算An.思路点拨先求出矩阵A的特征值1，2与其对应的特征向量1，2，然后利用Ann，并令An，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a，b，c，d.精解详析A的特征多项式f()(4)(2)152670，令f()0，得A的特征值为17，21.对17，解相应的线性方程组可得1为矩阵A的属于特征值17的特征向量对21，解相应的方程组，可得2
4、为矩阵A的属于特征值21的特征向量于是A 1 7A2 1.显然An7n，An(1)n.设An，则有，所以解得a，b，c，d，所以An.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化一般步骤为：(1)求二阶矩阵A的特征方程的根1，2，并分别求出对应的一个特征向量X1，X2，令X1，X2；(2)设An，根据AnX1X1，AnX2X2，得 ， ；(3)解方程组和即可求得An.3已知A，求A10.解：特征多项式为f()(1)2122，令f()0，解得矩阵A的特征值10，22，对10，解相应的线性方程组可得1是矩阵A属于特征值10的一个特征向量对22，解
5、相应的线性方程组可得2是矩阵A的属于特征值22的一个特征向量于是，A1 0，A2 2.显然，A10，A10210.设A10，则有；.所以解得a512，b512，c512，d512.所以，A10.4已知A，求An.解：特征多项式为f()(2)3223.解方程2230，求得特征值11，23.对于11，解相应的线性方程组得是属于1的一个特征向量对23，解相应的线性方程组得是属于2的一个特征向量于是A，A3，显然An(1)n，An3n.设An，代入得 (1)n， 3n，.解得因此An.矩阵的实际应用例3某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为；如果某年投资亏损，
6、则第二年投资获利的概率为，假设2013年他获利的概率为.(1)求他2014年投资获利的概率；(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？思路点拨列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解精解详析(1)2013年他获利的概率为，则投资亏损的概率为，它可以用W表示.2014年他获利与亏损的概率为W2014 ，所以2014年获利的概率为.(2)2015年获利与亏损的概率为W2015 .所以2015年获利的概率为，2015年投资获利机会大对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的5为了保证信息安全传输，设计一种密
7、码系统，其加密原理如下：明文X加密,密文Y发送,密文Y解密,明文X现在加密方式为：把发送的数字信息X写为“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩阵A，再左乘矩阵B，得到密文Y.现在已知接收方得到的密文是4,12,10,22，试破解该密码解：由题意知，BA ，(BA)1.又(BA)X，X(BA)1 ，即发送的数据信息是2 012.6已知不等式组确定的平面区域为F0，点M0(a，b)在平面区域F0内，点M1(ab,2b)在平面区域F1内(1)求平面区域F1的面积；(2)若点M1(a1，b1)在平面区域F1内，则点M2(a1b1,2b1)便在平面区域F2内，若点M2(a2，b2)在平面区域F2内
8、，则点M3(a2b2,2b2)便在平面区域F3内，依次类推，试判断平面区域Fn的形状，并求其面积Sn(nN*)解：(1)设M1(a1，b1)，依题意有可表示为 .由于平面区域F0是由三个点O0(0,0)，A0(2,0)，B0(0,2)组成的，故平面区域F1是由三个点O1(0,0)，A1(2,0)，B1(2,4)组成的，其面积S14.(2)设Mn1(an1，bn1)(nN*)，由题意有可表示为 .设A，则An，求得A的特征值11，22，11对应的一个特征向量1，22对应的一个特征向量2.又21，故An2121n.又2122，故An212221n122n2.由题意知矩阵A所对应的变换是线性变换，即
9、在矩阵A的作用下，将直线A0B0变换成A1B1，将A1B1变换成A2B2，将直线An1Bn1变换为AnBn，平面区域Fn是由三点On(0,0)，An(2,0)，Bn(2n12,2n1)组成的三角形，其面积Sn2n1(nN*)1已知向量1，2，把用1，2线性表出解：设t11t22即.故122.2若矩阵A有特征值12，21，它们对应的特征向量分别为i和j(1)求矩阵A及逆矩阵A1；(2)若，试求A100.解：(1)设A，则由题意可得即所以即A.所以A1.(2)设minj，则mn.所以m1，n16.所以A100minj1210016(1)100.3设A，求An(nN*)解：矩阵A的特征多项式为：f(
10、)2514(7)(2)，令f()0得矩阵A的特征值为17，22.把17，22代入线性方程组 得各自对应的一个特征向量1、2，1，2.A111，A222，An11，An22.设An，则 7n， (2)n.解得：a57n(1)n2n2，b7n(1)n12n，c7n(1)n12n，d47n(1)n52nAn.4若M，N，求(MN)1100.解：MN ，det(MN)1.(MN)1.设(MN)1的特征值为，特征向量为，则 ，f()(2)12210.1，.2.(MN)110010022.5已知矩阵A的一个特征值为2，其对应的特征向量是1，向量.求a、b及A5.解：由题意可知 2即：，得.A的特征多项式为
11、f()256，令f()0得：12，23.显然12时的一个特征向量为1.设23时的一个特征向量为2，则 3，即：，得yx，不妨令2，又3312，A532535.6已知矩阵A及向量，(1)计算An，并分析讨论当n的值越来越大时，An的变化趋势；(2)给出An的一个近似公式，并利用这一公式计算A100.解：(1)f()256(1)(6)，则矩阵A的特征值为11，26.属于特征值11的一个特征向量1，属于特征值26的一个特征向量2，12.An12.当n的值越来越大时，(1)n和(1)n1可忽略不计，An.(2)由(1)可得，An，A100.7已知矩阵A，求点P(3,3)经过矩阵A的连续50次作用后得到
12、的点P50的坐标解：矩阵A的特征多项式f()()(2)，由f()0得1，22.当时，由方程组令x1，y0，得属于特征值的一个特征向量为.同理属于特征值2的一个特征向量为.由于33，所以A5033，即点P(3,3)经过矩阵A的连续50次作用后得到的点P50的坐标是.8狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的相互影响现假设在第n年时，兔子的数量为an，狐狸的数量为bn，在初始时刻时(即第0年)，兔子有a0100只，狐狸有b030只，且两种群之间满足(n1)(*)试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？解：令n，M，则(*)式可以改写成nM n1(n1)由此可知nM n1M2n2Mn0.经过计算，矩阵M有两个特征值11，20.95，且分别可取1，2为对应的特征向量，显然1，2不共线，又不妨假设0s 1t 2(其中s，t待定)则有解得s70，t110，即07011102.从而由特征向量性质知nMn0Mn(7011102)7011102，即701n1100.95n0.95n.即第n年兔子和狐狸的数量为由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态知识整合与阶段检测
