1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则()A.mnB.mnC.m=nD.m是n的近似值解析:随机模拟法求其概率,只是对概率的估计.答案:D2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件解析:根据题意,把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,故两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌
2、”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.答案:B3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3解析:由题意知事件A,B,C互为互斥事件,记事件D=“抽到的是二等品或三等品”,则P(D)=P(BC)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3,故选D.答案:D4.(2017广西钦州期末)4张卡片上分别写有数字1,2,3,
3、4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()A.2B.3C.4D.6解析:由题意知,从这4张卡片中随机抽取2张卡片,取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共有4种结果.故选C.答案:C5.若某个班级内有40名学生,抽10名学生去参加某项活动,每个学生被抽到的概率为,则下列解释正确的是()A.4个人中,必有1个被抽到B.每个人被抽到的可能性都为C.由于有被抽到与不被抽到两种情况,故不被抽到的概率为D.以上说法都不正确解析:由概率的意义可知.答案:B6.(2017河北廊坊期末)方程x2+2x+n2=0(n-1
4、,2)有实根的概率为()A.B.C.D.解析:方程x2+2x+n2=0有实根,则=4-4n20,解得-1n1.n-1,2的区间长度为3,n-1,1的区间长度为2,所以方程x2+2x+n2=0(n-1,2)有实根的概率为,故选A.答案:A7.导学号38094052(2017云南大理一模)欧阳修在卖油翁中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径3 cm,中间有边长为1 cm的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()A.B.C.D.解析:中间正方形小孔的面积S正=1,铜钱的面积S圆=
5、,油恰好落入孔中的概率P=.故选C.答案:C 8.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在上为减函数的概率是()A.B.C.D.解析:函数y=ax2-2bx+1在上为减函数时,满足条件第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,a取1,2时,b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4时,b可取2,3,4,5,6;a取5,6时,b可取3,4,5,6,共30种.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,所求概率为.故选D.答案:D9.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20
6、位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为10,15),15,20),20,25),25,30),30,35,频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训,则这2位工人不在同一组的概率是()A.B.C.D.解析:根据题中频率分布直方图可知产品件数在10,15),15,20)内的人数分别为50.0220=2,50.0420=4,设生产产品件数在10,15)内的2人分别是A,B,设生产产品件数在15,20)内的4人分别是C,D,E,F,则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),
7、(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.2位工人不在同一组的结果有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8种.则选取这2人不在同一组的概率为.答案:C10.如图,矩形的长为5、宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为()A.B.C.10D.不能估计解析:利用几何概型的概率计算公式,估计阴影部分的面积为(25)=.答案:A11.如图,在矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,
8、0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()A.B.C.D.解析:由图形知C(1,2),D(-2,2),所以S矩形ABCD=6,S阴=31=,所以P=.答案:B12.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则()A.p1p2p3B.p2p1p3C.p1p3p2D.p3p1p2解析:总的基本事件个数为36,向上的点数之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)
9、,共10个,则向上的点数之和不超过5的概率p1=;向上的点数之和大于5的概率p2=1-;向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等,故向上的点数之和为偶数的概率p3=.即p1p3PD,所以P(A)=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在圆O:x2+y2=1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率.解:记过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为事件A.如图所示,设EF=1,则在RtOQE中,OE2=OQ2+QE2,即1=OQ2+,所以OQ=.由几何概型的概率公式得P(A)=.故
10、过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1-.18.(本小题满分12分)(2017广西南宁期末)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示的圆盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形的圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖.乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和2个红球(这些球除颜色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2个相同颜色的球,则为中奖.试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.解:设顾客去甲商场转动圆盘,指针指向阴影部分为事件A,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为r2(r
11、为圆盘的半径),阴影区域的面积为S=r2=r2.由几何概型概率公式,得P(A)=.设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B,记2个白球为白1,白2;2个红球为红1、红2;2个蓝球为蓝1、蓝2.则从盒子中一次性摸出2球,一切可能的结果有:(白1,白2),(白1,红1)、(白1,红2),(白1,蓝1),(白1,蓝2);(白2,红1),(白2,红2),(白2,蓝1),(白2,蓝2);(红1,红2),(红1,蓝1),(红1,蓝2);(红2,蓝1),(红2,蓝2);(蓝1,蓝2),共15种;其中摸到的是2个相同颜色的球有(白1,白2),(红1,红2),(蓝1,蓝2),共3种;由古典概型概率公式,得
12、P(B)=.19.(本小题满分12分)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2016年全年每天的PM2. 5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本,监测值茎叶图(十位为茎,个位为叶)如图所示,若从这6天的数据中随机抽出2天,(1)求恰有一天空气质量超标的概率;(2)求至多有一天空气质量超标的概率.解:由茎叶图知,6天中有4天空气质量未超标
13、,有2天空气质量超标.记未超标的4天为a,b,c,d,超标的两天为e,f,则从6天中抽取2天的所有情况为ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件数为15.(1)记“恰有一天空气质量超标”为事件A,可能结果为ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为8,所以P(A)=.(2)记“至多有一天空气质量超标”为事件B,“2天都超标”为事件C,则事件C的结果为ef,故P(C)=,所以P(B)=1-P(C)=1-.20.(本小题满分12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的
14、小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;在区间0,2内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2(a-b)2恒成立”的概率.解:(1)由题意可知,解得n=2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个.事件A包含的基本事件为(0,21),(0
15、,22),(21,0),(22,0),共4个,所以P(A)=.记“x2+y2(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y24”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域=(x,y)|0x2,0y2,x,yR,而事件B所构成的区域B=(x,y)|x2+y24,(x,y),所以P(B)=1-.21.导学号38094053(本小题满分12分)(2017黑龙江大庆红岗区期末)我校对高二600名学生进行了一次知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率50,60)20.0460,70)80.1670,80
16、)1080,90)90,100140.28合计1.00(1)填写频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;(2)请你估算该年级学生成绩的中位数;(3)如果用分层抽样的方法从样本分数在60,70)和80,90)的人中共抽取6人,再从6人中选2人,求2人分数都在80,90)的概率.解:(1)填写频率分布表中的空格,如下表:分组频数频率50,60)20.0460,70)80.1670,80)100.280,90)160.3290,100140.28合计501.00补全频率分布直方图,如下图:(2)设中位数为x,依题意得0.04+0.16+0.2+0.032(x-80)=
17、0.5,解得x=83.125,所以中位数约为83.125.(3)由题意知样本分数在60,70)有8人,样本分数在80,90)有16人,用分层抽样的方法从样本分数在60,70)和80,90)的人中共抽取6人,则抽取的分数在60,70)和80,90)的人数分别为2人和4人.记分数在60,70)的为a1,a2,在80,90)的为b1,b2,b3,b4.从已抽取的6人中任选两人的所有可能结果有15种,分别为a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4,b1,b2,b1,b3,b1,b4,b2,b3,b2,b4,b3,b4,设“2人分数都在8
18、0,90)”为事件A,则事件A包括b1,b2,b1,b3,b1,b4,b2,b3,b2,b4,b3,b4共6种,所以P(A)=.22.(本小题满分12分)砂糖橘是柑橘类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖橘,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45,(45,50,(50,55,(55,60进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间(45,50上的果树株数是产量在区间(50,60上的果树株数的倍.(1)求a,b的值;(2)从样本中产量在区间(50,60上的果树里随机抽取两株,求产量在区
19、间(55,60上的果树至少有一株被抽中的概率.解:(1)样本中产量在区间(45,50上的果树有a520=100a(株),样本中产量在区间(50,60上的果树有(b+0.02)520=100(b+0.02)(株),依题意,有100a=100(b+0.02),即a=(b+0.02).根据频率分布直方图可知,(0.02+b+0.06+a)5=1.解:组成的方程组得a=0.08,b=0.04.(2)样本中产量在区间(50,55上的果树有0.04520=4(株),分别记为A1,A2,A3,A4,产量在区间(55,60上的果树有0.02520=2(株),分别记为B1,B2.从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).其中产量在(55,60上的果树至少有一株被抽中共有9种情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).记“从样本中产量在区间(50,60上的果树里随机抽取两株,产量在区间(55,60上的果树至少有一株被抽中”为事件M,则P(M)=.
