1、2016-2017学年河南省中原名校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合M=y|y=x2，xR，N=x|x2+y2=2，xR，则MN=（）A（1，1），（1，1）B1C1，0D，02命题p：“x0R，使得x023x0+10”，则命题p为（）AxR，都有x23x+10BxR，都有x23x+10Cx0R，使得x023x0+10Dx0R，使得x023x0+103已知函数f（x）=ex+ln（x+1）的图象在（0，f（0）处的切线与直线xny+4=0垂直，则n的值为（）A2B2C1D04已知
2、向量=（2，1），=（1，3），则向量2与的夹角为（）A45B105C40D355张邱建算经有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A110尺B90尺C60尺D30尺6已知命题p：“x（0，+），lnx+4x3”；命题q：“x0（0，+），8x0+4”则下列命题为真命题的是（）A（p）qBpqCp（q）D（p）（q）7已知函数y=sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A，B1，C1，D，8若等比数列an的前项和为Sn，且S2=3，S6=63，则S5=（）A33B15C31D33或319已知实数x，y满足，则z=
3、2x3y的最小值为（）A32B16C10D610如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A9（+1）+8B9（+2）+48C9（+2）+4D9（+1）+8811定义在实数集R上的函数f（x），满足f（x）=f（2x）=f（x2），当x0，1时，f（x）=x2x则函数g（x）=f（x）|lgx|的零点个数为（）A99B100C198D20012已知函数f（x）的定义域为R，f（x）为函数f（x）的导函数，当x0+）时，2sinxcosxf（x）0且xR，f（x）+f（x）+cos2x=1则下列说法一定正确的是（）Af（）f（）Bf（）f（）Cf（
4、）f（）Df（）f（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数f（x）=，则f（x）dx=14如图，已知ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=15已知三棱锥ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为16已知定义在（0，+）的函数f（x）=|4x（1x）|，若关于x的方程f2（x）+（t3）f（x）+t2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，D是ABC内一点，角A，B，C的对
5、边分别是a，b，c，且满足D=2B，cosD=，AD=2，ACD的面积是4（1）求线段AC的长；（2）若BC=4，求线段AB的长18在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业其用氧量包含一下三个方面：下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为x2升；水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；返回水面时，平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数；（2）若x6，10，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围；（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最
6、多在水下多少分钟（结果取整数）？19已知函数f（x）=2cos2x2sin（x+）cos（x）（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x0，时，函数g（x）的值域20已知数列an满足a1=，an+1=，nN+（1）求证：数列2是等比数列，并且求出数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn21已知正三棱柱ABCABC如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，AC上运动，使得DE平面BCCB，CC=2BC=4（1）求二面角ABCC的余弦值；（2）求线段DE的最小值22已知函数f（x）=x2ml
7、nx（1）求函数f（x）的极值；（2）若m1，试讨论关于x的方程f（x）=x2（m+1）x的解的个数，并说明理由2016-2017学年河南省中原名校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合M=y|y=x2，xR，N=x|x2+y2=2，xR，则MN=（）A（1，1），（1，1）B1C1，0D，0【考点】交集及其运算【分析】由二次函数的值域求出集合M，由条件和圆的性质求出集合N，由交集的运算求出MN【解答】解：由y=x2（xR）得y0，则集合M=y|y=x2，xR=（，0
8、，由x2+y2=2（xR）得，则N=x|x2+y2=2，xR=，所以MN=，0，故选D2命题p：“x0R，使得x023x0+10”，则命题p为（）AxR，都有x23x+10BxR，都有x23x+10Cx0R，使得x023x0+10Dx0R，使得x023x0+10【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解命题p：“x0R，使得x023x0+10”，则命题p为xR，都有x23x+10故选：B3已知函数f（x）=ex+ln（x+1）的图象在（0，f（0）处的切线与直线xny+4=0垂直，则n的值为（）A2B2C1D0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由求
9、导公式和法则求出函数的导数，由直线垂直的条件求出切线的斜率，即可求出n的值【解答】解：依题意得，f（x）=ex+，所以f（0）=2显然n0，直线xny+4=0的斜率为，所以，解得n=2，故答案为：2故选A4已知向量=（2，1），=（1，3），则向量2与的夹角为（）A45B105C40D35【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可【解答】解：向量=（2，1），=（1，3），2=（3，1），（2）=61=5，|=，|2|=，设量2与的夹角为，cos=，0180，=45，故选：A5张邱建算经有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一
10、尺，计织三十日，问共织布（）A110尺B90尺C60尺D30尺【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的前n项和求解【解答】解：由题意知等差数列an中，a1=5，a30=1，=90（尺）故选：B6已知命题p：“x（0，+），lnx+4x3”；命题q：“x0（0，+），8x0+4”则下列命题为真命题的是（）A（p）qBpqCp（q）D（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：取x=，可知lnx+4x3，故命题p为假命题；当x00时，8x0+2=4，当且仅当x0=时等号成立，故命题q为真命题；所以（p）q为真命题，pq、p（q）
11、、（p）（q）为假命题，故选：A7已知函数y=sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A，B1，C1，D，【考点】正弦函数的图象【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得结论【解答】解：由函数y=sin（x+）（0，0）的部分图象知， =+=，=再根据五点法作图可得（）+=0，=，故选：A8若等比数列an的前项和为Sn，且S2=3，S6=63，则S5=（）A33B15C31D33或31【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q1，S2=3，S6=63，a1（1+q）=3， =63，消去a1，化为q4+
12、q220=0，解得q=2q=2时，a1=1；q=2，a1=3则S5=31，或S5=33故选：D9已知实数x，y满足，则z=2x3y的最小值为（）A32B16C10D6【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数判断最优解，代入求解即可【解答】解：作出不等式组，所表示的平面区域如下图阴影部分所示，由解得C（7，14）观察可知，当直线z=2x3y过点C（7，10）时，z有最小值，最小值为：16故选：B10如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A9（+1）+8B9（+2）+48C9（+2）+4D9（+1）+88【考点】棱柱、棱锥、
13、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，进而可得答案【解答】解：由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故该几何体的表面积S=（23）3+32（2）2+4（8）=9（+1）+88故选：D11定义在实数集R上的函数f（x），满足f（x）=f（2x）=f（x2），当x0，1时，f（x）=x2x则函数g（x）=f（x）|lgx|的零点个数为（）A99B100C198D200【考点】函数零点的判定定理【分析】判断f（x）的对称性和周期，做出y=f（x）和y=|lgx|的函数图象，根据两图象的变化规律判断交点个数，从而得出结论【解答
14、】解：f（x）=f（x2），f（x）是以2为周期的函数，又f（2x）=f（x2），f（x）是偶函数，f（x）=f（2x），f（x）的图象关于直线x=1对称，令g（x）=0得f（x）=|lgx|，做出y=f（x）和y=|lgx|的函数图象如图所示：令lgx=2得x=100，由图象可得y=f（x）和y=|lgx|的函数图象在每个区间n1，n上都有1个交点，n=1，2，3，100g（x）共有100个零点故选B12已知函数f（x）的定义域为R，f（x）为函数f（x）的导函数，当x0+）时，2sinxcosxf（x）0且xR，f（x）+f（x）+cos2x=1则下列说法一定正确的是（）Af（）f（）Bf
15、（）f（）Cf（）f（）Df（）f（）【考点】导数的运算【分析】令F（x）=sin2xf（x），可得F（x）=2sinxcosxf（x）0，x0+）时可得F（x）在x0，+）上单调递增又xR，f（x）+f（x）+cos2x=1可得f（x）=sin2x2sin2x+f（x）=sin2xf（x），F（x）为奇函数进而得出答案【解答】解：令F（x）=sin2xf（x），则F（x）=2sinxcosxf（x）0，x0+）时F（x）在x0，+）上单调递增又xR，f（x）+f（x）+cos2x=1f（x）+f（x）=2sin2x，sin2（x）f（x）=sin2x2sin2x+f（x）=sin2xf（x）
16、，故F（x）为奇函数，F（x）在R上单调递增，F即F，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数f（x）=，则f（x）dx=6+【考点】定积分【分析】分部积分，第一部分公式法，第二部分几何意义【解答】解：当x3，0时，f（x）=x2+3，则（x2+3）dx=（x3+3x）=|=0（39）=6，当x0，3时，f（x）=，则dx表示以原点为圆心以3为半径的圆的面积的四分之一，故dx=，故f（x）=6+故答案为：6+14如图，已知ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量加法的平行四
17、边形法则，向量加减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，这样便可得出m+n的值【解答】解：根据条件，=；又；故答案为：15已知三棱锥ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为77【考点】球的体积和表面积【分析】三棱锥ABCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可【解答】解：三棱锥ABCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：2，体对角线的长为球的直径，d=，它的外接球半径是，外接球的表面积是77，故答案为：7716已知定义在（0，+）的函数f
18、（x）=|4x（1x）|，若关于x的方程f2（x）+（t3）f（x）+t2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是2， 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】通过f（x）的图象，研究关于y的二次方程y2+（t3）y+t2=0有且只有3个不同的实数根设g（y）=y2+（t3）y+t2，通过对y的取值范围，去对t进行讨论，可得答案【解答】解：作出f（x）图象，研究关于y的二次方程y2+（t3）y+t2=0根的分步设g（y）=y2+（t3）y+t2，t=2时，y=0，y=1，由图象可知显然符合题意t2时，一正一负根，即g（0）0，g（1）0，方程的根大于1，f2（x）+（t3）
19、f（x）+t2=0只有1个根，t2时，两根同号，只能有一个正根在区间（0，1），而g（0）=t2，g（1）=2t4，其对称轴y=，1t3=0，可得t=5实数t的取值集合是2， 故答案为：2， 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，D是ABC内一点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足D=2B，cosD=，AD=2，ACD的面积是4（1）求线段AC的长；（2）若BC=4，求线段AB的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由题意求出sinD，根据AD=2，ACD的面积是4即可求出CD的长度利用余弦定理可得AC（2）根据D=2B，利用二倍
20、角公式求出sinB的值，由正弦定理可得AB【解答】解：（1）由cosD=，可得sinD=，ACD的面积是4=ADCDsinD解得：CD=6在ACD中由余弦定理：AC2=AD2+CD22ADCDcosD=48AC=4（2）由已知：D=2B，即cosD=cos2B=12sin2B=sinB=在ABC中，BC=4，AC=4即AC=BC，由正弦定理：即AB=8（也可以用等腰三角形求线AB的一半）18在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业其用氧量包含一下三个方面：下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为x2升；水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；返
21、回水面时，平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数；（2）若x6，10，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围；（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x6，10可知y=+6在6，8上单调递减、在8，10上单调递增，比较当x=6、10时的取值情况即得结论；（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为18.3分钟【解答】解
22、：（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，y=，整理得y=+3（x0）（2）由（1）同理得y=+614（x6，10）函数在x6，8是减函数，x8，10是增函数，x=8时，ymin=14，x=6时，y=，x=10，y=，总用氧量y的取值范围是14，；（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为18.3分钟，所以潜水员最多在水下18分钟19已知函数f（x）=2cos2x2sin（x+）cos（x）（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x0，时，函数g（x）的值域【考点】正弦函数的单调性；函
23、数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）；（2）根据函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，求出x0，时函数g（x）的值域即可【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2x2sin（x+）cos（x）=2+2cosx（cosxcos+sinxsin）=1+cos2x+cos2x+sinxcosx=1+cos2x+sin2x=cos2x+sin2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）；令+2k2x+2k，kZ，解得+kx+k，kZ，函数f（x）的单调递减区间是+k， +k，kZ；（2）将函数f（x）的图象向右平
24、移个单位长度，得y=sin2（x）+=sin（2x）的图象；再向上平移个单位长度，得y=sin（2x）+的图象；函数g（x）=sin（2x）+；当x0，时，2x，sin（2x），1；sin（2x），sin（2x）+，即函数g（x）的值域是，20已知数列an满足a1=，an+1=，nN+（1）求证：数列2是等比数列，并且求出数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）对已知等式取倒数，再减2，结合等比数列的定义和通项公式即可得到结论；（2）求得=n（）n+2n，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得
25、到所求和【解答】解：（1）证明：由a1=，an+1=，nN+，取倒数，可得=+，即2=（2），所以数列2是以为首项，为公比的等比数列，可得2=（）n1=（）n；所以数列an的通项公式为an=，nN*；（2）=n（）n+2n，设Tn=1（）+2（）2+n（）n，Tn=1（）2+2（）3+n（）n+1，两式相减得Tn=+（）2+（）nn（）n+1，=（1）n（）n+1，所以Tn=，又2+4+6+2n=n2+n，所以前n项和Sn=+n2+n21已知正三棱柱ABCABC如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，AC上运动，使得DE平面BCCB，CC=2BC=4（1）求二面角ABCC的余弦值；
26、（2）求线段DE的最小值【考点】二面角的平面角及求法【分析】（1）由题意画出图形，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面BCC与平面ABC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角ABCC的余弦值；（2）设D（0，0，t）（0t），E（x，y，z），由，结合DE平面BCCB把用含有t的代数式表示，然后求出的最小值得答案【解答】解：（1）如图，ABCABC为正三棱柱，G是BC的中点，AG平面BCCB，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则G（0，0，0），A（0，0，）
27、，C（1，0，0），B（1，4，0），A（0，4，），=（1，4，），平面BCC的一个法向量为，设平面ABC的一个法向量为，由，取y=1，得x=2，z=，cos=二面角ABCC的余弦值为；（2）设D（0，0，t）（0t），E（x，y，z），则，（x+1，y，z）=（，4，），即x=1，y=4，z=E（1，4，），=（1，4，），由DE平面BCCB，得，得=，当t=时，有最小值，线段DE的最小值为22已知函数f（x）=x2mlnx（1）求函数f（x）的极值；（2）若m1，试讨论关于x的方程f（x）=x2（m+1）x的解的个数，并说明理由【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，
28、通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令F（x）=f（x）x2+（m+1）x=x2+（m+1）xmlnx，x0，问题等价于求F（x）函数的零点个数，通过讨论m的范围，判断即可【解答】解：（1）依题意得，f（x）=x=，x（0，+），当m0时，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值；当m0时，f（x）=，令f（x）0，得0x，函数f（x）单调递减，令f（x）0，得x，函数f（x）单调递增，故函数f（x）有极小值f（）=（1lnm）；综上所述，当m0时，函数f（x）无极值；当m0时，函数f（x）有极小值（1lnm），无极大值（2）令F（x）=f（x）x2+（m+1）x=x2+（m+1）xmlnx，x0，问题等价于求F（x）函数的零点个数，易得F（x）=x+m+1=，若m=1，则F（x）0，函数F（x）为减函数，注意到F（1）=0，F（4）=ln40，所以F（x）有唯一零点；若m1，则当0x1或xm时，F（x）0，当1xm时，F（x）0，所以函数F（x）（0，1）和（m，+）上单调递减，在（1，m）上单调递增，注意到F（1）=m+0，F（2m+2）=mln（2m+2）0，所以F（x）有唯一零点；综上，若m1，函数F（x）有唯一零点，即方程f（x）=x2（m+1）x有唯一解2017年4月16日
