1、第1课时平面向量基本定理核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93P94的内容，回答下列问题(1)观察教材P93图2.32的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以根据是数乘向量和平行四边形法则(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在(3)两个非零向量夹角的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角的范围是0180.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0或180.2归纳总结，核心必记(1)平面向量基本定理条件e1
2、、e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角续表范围0，特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向问题思考(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？提示：不能基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示(3)如果e1，e2是共线向量，那么向
3、量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示课前反思(1)平面向量基本定理：；(2)基底：；(3)基向量：；(4)向量的夹角：讲一讲1.如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若试用a，b表示尝试解答如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解练一练1如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是BC，DC
4、边上的中点若，试用a，b为基底表示向量解：四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，讲一讲2已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是多少？ab与a的夹角又是多少？即ab与a的夹角是30，ab与a的夹角是60.两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角练一练2如图，已知ABC是等边三角形(1)求向量的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量的夹角解：(1)ABC为
5、等边三角形，ABC60.如图，延长AB至点D，使ABBD，DBC120， (2)E为BC的中点，AEBC，的夹角为90.讲一讲3如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC3AE，BC3BF，若，其中，R，求，的值 (1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则(2)重要结论设e1，e2是平面内一组基底，练一练3如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求证：APPM41.所以b，即bcb.又因为b与c不共线，所以解得故即APPM41.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是平
6、面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用2本节课要重点掌握以下三个问题(1)用基底表示向量，见讲1；(2)求向量的夹角，见讲2；(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3.3本节课的易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和.(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角如练2.课下能力提升(十七)学业水平达标练题组1用基底表示向量1已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()Ae1，e1e2 Be12e2，e22e1Ce12e2，4e22e1 De1e2，e1e2解析：选C因为
7、4e22e12(e12e2)，从而e12e2与4e22e1共线A.bc B.cbC.bc D.bc3如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点试以a，b为基底表示向量题组2向量的夹角问题4若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A60 B120C30 D150解析：选A平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量a与b的夹角也是60.5已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_解析：由题意可画出图形，如图所示在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，
8、OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：90解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，在RtOCD中，即4，2，6.题组3平面向量基本定理的应用7设向量e1与e2不共线，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数x，y的值分别为()A0，0 B1，1 C3，0 D3，4解析：选D向量e1与e2不共线，解得8在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若,其中，R，则的值为_答案：9设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1e2_解析：设e1e2manb(m，nR)，ae12e
9、2，be1e2，e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.e1与e2不共线，e1e2ab.答案：ab10设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m、nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e
10、2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.能力提升综合练1以下说法中正确的是()A若a与b共线，则存在实数，使得abB设e1和e2为一组基底，a1e12e2，若a0，则120Ca的长度为|a|D如果两个向量的方向恰好相反，则这两个向量是相反向量解析：选BA错，a0，b0时，不存在C错，0时不成立D错，相反向量的模相等，故选B.2A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于()AabB2(ba)C2(ab) Dba3. 已知e1，e2不共线，且ake1e2，be2e1，若a，b不能作为基底，则k等于_解析：
11、向量a，b不能作为基底，则向量a，b共线，可设ab，则则k1.答案：14如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若则_解析：因为AB2，BC3，ABC60， AHBC，所以BH1，BHBC.因为点M为AH的中点，即，所以.答案：5如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设PAB，向量 (，R)，若1，则_所以sin 1，sin 1，所以sin 1，90.答案：906如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，(1)试以b，d为基底表示；(2)试以m，n为基底表示.7.如图所示，在ABC中
12、，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.解得所以AEab. 第2课时平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P94P100的内容，回答下列问题(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，xiyj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同(3)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一
13、一对应？提示：一一对应(4)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，如何求ab，ab，a的坐标？提示：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出的坐标吗？提示：能(x2x1，y2y1)2归纳总结，核心必记(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，此式叫做向量的坐标表示(3
14、)向量i，j，0的坐标表示i(1，0)，j(0，1)，0(0，0)(4)平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a(x，y)，R，则a(x，y)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)(5)平面向量共线的坐标表
15、示前提条件a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0结论当且仅当x1y2x2y10时，向量a、b(b0)共线问题思考(1)在平面直角坐标系中，若ab，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？提示：若ab，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a(x，0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y)(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？提示：区别：表示形式不同，向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号意义不同，点A(x
16、，y)的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同(4)两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标条件能表示为吗？提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x2y20时才能这样表示(5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：将b写成a的形式，根据的符号判断，如a(1，2)，b(1，2)a，故a，b反向课前反思(1)平面向量的正交分解：；(2)平面向量的坐标表
17、示：；(3)平面向量的坐标运算：；(4)平面向量共线的坐标表示：讲一讲1如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和的坐标尝试解答由题知B、D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，B.x2cos 120，y2sin 120，D.，.求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标练一练1已知O是坐标原点，点A在第一象
18、限，|4，xOA60，(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)(2) (2，6)(，1)(，7).讲一讲2(1)已知向量a，b的坐标分别是(1，2)，(3，5)，求ab，ab，3a，2a3b的坐标；(2)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且，求M，N及的坐标尝试解答(1)ab(1，2)(3，5)(2，3)，ab(1，2)(3，5)(4，7)，3a3(1，2)(3，6)，2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(7，11)(1)平面向量坐标运算的方法若已知向量的坐标，
19、则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解(2)坐标形式下向量相等的条件及其应用条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值练一练2已知a，B点坐标为(1，0)，b(3，4)，c(1，1)，且a3b2c，求点A的坐标解：b(3，4)，c(1，1)，3b2c3(3，4)2(1，1)(9，12)(2，2)(7，10)，即a(7，10).又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则(1x，0y)(7，10)，即A点坐标为(8，1
20、0)讲一讲3(1)已知向量a(1，2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A.B.C1 D2(2)设向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，求当k为何值时，A、B、C三点共线尝试解答(1)法一：a2b(1，2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1，2)2(，1)(22，2)由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0，解得.法二：假设a，b不共线，则由(a2b)(2a2b)可得a2b(2a2b)，从而方程组显然无解，即a2b与2a2b不共线，这与(a2b)(2a2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以，即.(4k，7)(10k，k12)，即解得k2或k1
21、1.当k2或11时，A、B、C三点共线(4k)(k12)7(10k)0，即k29k220，解得k2或k11.当k2或11时，A、B、C三点共线答案：(1)A(1)向量共线的判定方法利用向量共线定理，由ab(b0)推出ab.利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解(2)三点共线的实质与证明步骤实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：()证明向量平行；()证明两个向量有公共点练一练3(1)已知a(1，2)，b(3，2)，当实数k为何值时，(kab)(a3b)？这两个向量的方
22、向是相同还是相反？(2)已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)求实数x的值，使向量 共线；当向量共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解：(1)a(1，2)，b(3，2)，kab(k3，2k2)，a3b(10，4)由题意得(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kabab(a3b)，当k时，(kab)(a3b)，并且它们的方向相反课堂归纳感悟提升1本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算、平面向量共线的坐标表示2本节课要重点掌握以下三个问题(1)向量的坐标表示，见讲1；(2)向量的坐标运算，见讲2；(3)向量共线的坐标表示，见讲3.3要正确理解向量平行的条件(1
23、)ab(b0)ab.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系(2)aba1b2a2b10，其中a(a1，b1)，b(a2，b2)这是代数运算，由于不需引进参数，从而简化代数运算(3)ab，其中a(a1，b1)，b(a2，b2)且b10，b20.即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误课下能力提升(十八)学业水平达标练题组1向量的坐标表示1已知(2，4)，则下面说法正确的是()AA点的坐标是(2，4)BB点的坐标是(2，4)C当B是原点时，A点的坐标是(2，4)D当A是原点时，B点的坐标是(2，4)解析：选D由任一向量的坐标的定义可知：当A
24、点是原点时，B点的坐标是(2，4) ()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)3若A(2，1)，B(4，2)，C(1，5)，则解析：A(2，1)，B(4，2)，C(1，5)，(2，3)(6，6)(4，9)答案：(4，9)题组2平面向量的坐标运算4设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b()A(6，3) B(7，3)C(2，1) D(7，2)解析：选Ba(3，5)，b(2，1)，a2b(3，5)2(2，1)(3，5)(4，2)(7，3)5若向量a(x2，3)与向量b(1，y2)相等，则()Ax1，y3 Bx3，y1Cx1，y5 Dx5，y1解析：选B由题意，知解得6已知A(3
25、，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC.设 (R)，则_解析：过C作CEx轴于点E，由AOC知，|OE|CE|2，所以(2，0)(3，0)，故.答案：(x11，y12)(3，6)(1，2)，(1x2，2y2)(3，6)(1，2)则有解得C，D的坐标分别为(0，4)和(2，0)，因此(2，4)题组3向量共线的坐标表示8已知A(2，1)，B(3，1)，则与AB平行且方向相反的向量a是()A(2，1) B(6，3)C(1，2) D(4，8)解析：选D(1，2)，向量(2，1)、(6，3)、(1，2)与(1，2)不平行；(4，8)与(1，2)平行且方向相反9已知A(1
26、，4)，B(x，2)，若C(3，3)在直线AB上，则x_解析：(x1，6)，(4，1)，(x1)240，x23.答案：23证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以(x11，y1)，故E；所以(x23，y21)，故F.所以.又因为4(1)0，11平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)，回答下列问题：(1)求3ab2c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)3ab2c3(3，2)(1，2)2(4，1)(9，6)(1，2)(8，2)(918，622)(0，6)(2)ambnc，(3，2)m(1，2)n(4，1)(m4n，2m
27、n)m4n3且2mn2，解得m，n.(3)(akc)(2ba)，又akc(34k，2k)，2ba(5，2)，2(34k)(5)(2k)0.k.能力提升综合练1已知A(7，1)，B(1，4)，直线yax与线段AB交于C，且，则实数a等于()A2 B1 C. D.解析：选A设C(x0，y0)，则y0ax0，2设向量a(1，3)，b(2，4)，c(1，2)，若表示向量4a，4b2c，2(ac)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A(2，6) B(2，6)C(2，6) D(2，6)解析：选D四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a(4b2c)2(ac)d0，d6a4
28、b4c6(1，3)4(2，4)4(1，2)(2，6)3已知向量a(1，0)，b(0，1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向解析：选Da(1，0)，b(0，1)，若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，显然c与d不平行，排除A、B.若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，即cd且c与d反向4已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a2b共线，则等于()A B. C2 D2解析：选A由向量a(2，3)，b(1，2)，得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，
29、所以.x(y2)(x4)y0，即x2y0.答案：06已知P1(2，1)，P2(1，3)，P在直线P1P2上，且.则P点的坐标为_(x2，y1)(1x，3y)，即故P点坐标为.(x2，y1)(1x，3y)，即故P点坐标为(8，9)综上可得，P点坐标为或(8，9)答案：或(8，9)7已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由解：由题可知(1，2)，(3，3)，(1，2)t(3，3)(13t，23t)(1)若P在x轴上，则有23t0，t；若P在y轴上，则有13t0，t；若P在第二象限，则有解得t.(2) (13t，23t)(4，5)(33t，33t)若四边形OABP是平行四边形，则有即方程组显然无解四边形OABP不可能是平行四边形8如图所示，已知AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)， AD与BC相交于点M，求点M的坐标x40，即7x16y20.联立，解得x，y2，故点M的坐标为.
