1、43导数在研究函数中的应用43.1利用导数研究函数的单调性1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系2.能够利用导数研究函数的单调性3会求函数的单调区间用函数的导数判断函数单调性的法则如果在一个区间内，函数f(x)的导数f(x)0，则f(x)单调递增；如果在一个区间内，函数f(x)的导数f(x)0，则f(x)单调递减1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)因为函数y的导函数y0，所以说该函数在其定义域内为减函数()答案：(1)(2)2函数f(x)2xsin x在(，)上是()A增函数B减函数C先增后减 D不确定答
2、案：A利用导数证明或判断函数的单调性学生用书P10证明：函数f(x)在区间上单调递减【证明】f(x)，又x，则cos x0，所以xcos xsin x0，所以f(x)0，解得x1或x.因此f(x)的单调递增区间是，(1，)令f(x)0，解得x0，解得x；令f(x)20，解得0x0和f(x)0时，令3x2a0，得x；当x时，f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意 1.若函数f(x)a(x3x)的单调减区间为，则a的取值范围是_解析：由f(x)a(3x21)3a0.答案：(0，)2若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_
3、解析：因为f(x)3x22xm，且f(x)是R上的单调函数，所以只能在R上是递增的，所以f(x)3x22xm0恒成立，所以412m0，所以m.答案：，)1函数的导数与单调性的关系设函数yf(x)在区间(a，b)内可导如果恒有f(x)0，则函数f(x)在(a，b)内为增加的；如果恒有f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f(x)x3在(1，1)内是单调递增的，但f(x)3x20(1x0，所以f(x)在2，5上的单调递增区间为(1，2)和(4，5答案：(1，2)和(4，54求证：f(x)
4、(k0)在(，)上是增函数证明：f(x)(k0)的定义域为(，0)(0，)f(x).当x(，)时，x2k，即x2k0，所以f(x)0，所以f(x)(k0)在(，)上是增函数 A基础达标1函数f(x)(x1)ex的单调递增区间是()A(，0)B(0，1)C(1，4) D(0，)解析：选D.f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex，令f(x)0，解得x0，故选D.2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(0，1)B(0，1)和(，1)C(0，1)(1，)D(0，)解析：选A.yx2ln x的定义域为(0，)，由yx0，所以0x1.所以选A.3yxln x在(0，5)上是()A增函数B减函数C在
5、上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数解析：选C.yln x1，令y0，则x，当0x时，y0；当x时，y0，所以函数yxln x在上为减函数，在上为增函数4已知函数f(x)x，则f(x)在(0，)上的单调性为()Af(x)在(0，)上是增函数Bf(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数Cf(x)在(0，)上是减函数Df(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数解析：选C.f(x)x10，故函数f(x)xcos x 的一个单调递增区间为.故选A.6函数f(x)2x33x21的增区间是_，减区间是_解析：因为f(x)6x26x，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得
6、0x0，(x2)20.令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；令f(x)0，解得x1时，f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)x1.B能力提升11已知函数f(x)ln 2，则()Af()f()Bf()f()Df()，f()的大小关系无法确定解析：选C.f(x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减因为f()故选C.12已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上有f(x)0，若f(1)0，则关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0
7、，)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，且f(x)在(，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)0的解集为(，1)(0，1)答案：(，1)(0，1)13若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1，4)内单调递减，在(6，)上单调递增，试求a的取值范围解：法一：如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1，4)内f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4，6上所以即所以5a7.即a的取值范围为5，7法二：f(x)x2axa1，因为f(x)在(1，4)内单调递减，所以f(x)0在(1，4)上恒成立，即a(x1)x21在(1，4)上
8、恒成立所以ax1.因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知a的取值范围为5，714(选做题)设函数f(x)xekx(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，1)内单调递增，求k的取值范围解：(1)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增若k0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，则当且仅当1，即0k1时，函数f(x)在(1，1)内单调递增；若k0，则当且仅当1，即1k0时，函数f(x)在(1，1)内单调递增综上可知，函数f(x)在区间(1，1)内单调递增时，k的取值范围是1，0)(0，1
