1、第2课时直线的方向向量和法向量课标解读课标要求素养要求1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.直观想象能利用直线的方向向量、法向量确定直线.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一直线的方向向量1.直线方向向量的定义一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线I 平行或重合，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 al .2.直线方向向量的性质（1）如果为直线l的一个 方向向量，那么对于任意的实数0，向量a都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 共线 .（2）如果A(x1,y1)
2、,B(x2,y2)是直线l上两个不同的点，则AB=(x2-x1,y2-y1)）是直线l的一个 方向向量3.直线的方向向量与倾斜角，斜率的关系一般地，如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量，则:（1）当u=0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为 90（2）当u0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1v=ku，从而k=vu，因此可知倾斜角满足 tan=vu要点二直线的法向量1.直线法向量的定义一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线 垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作vl .直线法向量的性质（
3、1）一条直线的 方向向量与法向量互相垂直.（2）当x0与y0不全为0时，因为向量(x0,y0)与(y0,-x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个 法向量 .自主思考1.若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量可以是(1,k)吗?答案：提示可以.2.直线AB的一个方向向量AB=(x2-x1,y2-y1)与其斜率有什么关系?答案：提示当x1x2，时，AB的纵坐标与横坐标的比y2-y1x2-x1就是直线AB的斜率;当x1=x2时，直线的斜率不存在. 3.若为直线l的一个法向量，则入a（0）也是直线l的一个法向量吗?答案：提示是 .4.向量(x0,y
4、0)与(y0,-x0)为何是相互垂直的?答案：提示因为二者的数量积为(x0,y0)(y0,-x0)=x0y0-x0y0=0，所以向量（(x0,y0)与(y0,-x0)是相互垂直的. 名师点睛1.任何直线都有方向向量和法向量.倾斜角为90的直线的斜率不存在，但其方向向量一定存在;倾斜角为0的直线的斜率为0，但其法向量所在的直线的斜率不存在. 2.如果直线l的倾斜角为，斜率为k，如图所示，那么直线l的一个方向向量为OP=(cos,sin) .互动探究关键能力探究点一直线的方向向量及应用精讲精练例（1）直线l过点P(1,-3)，Q(4,3-3)，求直线l的一个方向向量、斜率k和倾斜角（2）已知平面内
5、三点A(-1,-5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A,B,C三点共线答案：（1）解法一：由已知得PQ=(4,3-3)-(1,-3)=(3,3)为直线l的一个方向向量，k=33，tan=33，=30故该直线的一个方向向量为(3,3)，斜率为33，倾斜角为30 .解法二：k=(3-3)-(-3)4-1=33，tan=33,=30 .直线l的一个方向向量为(1,k)=(1,33) .故该直线的一个方向向量为(1,33)，斜率为33，倾斜角为30 .（2）证明：AB=(2,1)-(-1,-5)=(3,6),AC=(4,5)-(-1,-5)=(5,10)=53AB .ABAC，又AB与AC有公共点
6、A，A,B,C三点共线解题感悟直线的方向向量的求法（1）在直线上任找两点P,Q，则PQ(QP)为直线的一个方向向量（2）已知直线的斜率为k，则a=(1,k)为直线的一个方向向量（3）a=(t,0)(t0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a=(0,t)(t0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量.迁移应用1.经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，则k的值是( )A.1B.-1C.2D.-2答案：D解析：由已知得k=2-00-1=-2 .2.若直线l的一个方向向量是(-3,6)，则其斜率为( )A.36 B.-36 C.23 D.-23答案：D解析：若直线l的一
7、个方向向量是(-3,6)，则直线l的斜率为6-3=-23探究点二直线的法向量及应用精讲精练例已知菱形ABCD中,点A(-1,-2),B(2,1) ,直线BC的一个方向向量为a=(3,6) ,直线BD的一个法向量为v=(-2,-3) ,求点C的坐标答案：设点C的坐标为(x0,y0) ,则BC=(x0-2,y0-1)由题意得,BCa ,则(x0-2)6-3(y0-1)=0,即2x0-y0-3=0.又AC=(x0+1,y0+2),四边形ABCD为菱形,ACD ,AC为直线BD的一个法向量,AC/v，-2(y0+2)+3(x0+1)=0,即3x0-2y0-1=0.由解得x0=5y0=7 点C的坐标为(
8、5,7)变式在本例中,若直线AB的法向量的大小为18,求此法向量.答案：因为A(-1,-2),B(2,1) ,所以直线AB的一个方向向量为AB=(3,3) ,所以该直线的法向量可设为u=(3,-3) ,由题意可得92+92=18 ,解得=1 ,所以直线AB的法向量为(-3,3)或(3,-3).解题感悟直线的法向量的求法若直线的方向向量为a=(x0,y0) ,则直线的法向量v=(y0,-x0) ,即要求直线的法向量,只需求出直线的方向向量即可迁移应用1.已知直线的倾斜角为120 ,它的一个法向量为v=(m,m+1) ,则m的值为( )A.1-3B.3+1C.3+32D.-3+32答案： D 解析
9、：由题意得,k=tan120=-3 ,直线的一个方向向量为a=(1,-3)av,又v=(m,m+1) ,m-3(m+1)=0解得m=-3+32 .2.若直线l的一个法向量为v=(1,-1) ,则该直线的倾斜角为 .答案：4解析：解析设直线l的倾斜角为 ,因为直线l的一个法向量为v=(1,-1) ,所以该直线的一个方向向量为u=(-1,-1) ,则tan=1 ,又因为0,) ,所以=4 .评价检测素养提升课堂检测1.过点A(2,3),B(0,-2)的直线的一个法向量为( )A.(-5,-2) B.(-2,-5)C.(-5,2) D.(5,2)答案：C2.直线AB的一个方向向量为a=(3,-3)
10、,则该直线的倾斜角为( )A.45 B.60 C.120 D.150答案：D3.直线l的一个法向量为u=(3,-3) ,则直线l的倾斜角为答案：3素养演练数学运算直线的方向向量与斜率 1.已知向量m=(a,a2+1)(a0) ,直线AB的一个方向向量为n ,若m与n共线,则直线AB的斜率的取值范围是答案：(-,-22,+)解析：m与n共线,m=(a,a2+1)(a0)为直线AB的一个方向向量,kAB=a2+1a=a+1a .当a0时,a+1a2 ,当且仅当a=1时取等号,所以a+1a2,+)当a0时,a+1a=-(-a)+1-a-2 ,当且仅当a=-1时取等号,所以a+1a(-,-2故直线AB的斜率的取值范围是(-,-22,+)素养探究：本题考查直线的方向向量与直线的斜率的关系,解答本题的关键是由直线的方向向量求出直线的斜率的表达式,然后利用基本不等式求其取值范围,在此过程中体现了数学运算的核心素养.
