1、第2课时空间直角坐标系及空间向量坐标的应用课标解读课标要求素养要求1.了解空间直角坐标系.2.会求空间中点的坐标，两点间的距离以及两点所连线段的中点坐标.3.掌握空间向量坐标的简单应用.1.直观想象能根据具体的几何图形建立适当的空间直角坐标系，并能写出相关点的坐标.2.数学运算能应用空间向量坐标运算解决中点坐标、距离、夹角等问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面 垂直的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作 Oxyz .2.空间直角坐标系的相关概念
2、在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相 垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为 xOy平面、 yOz平面、 zOx平面.3.z轴正方向的确定z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿 逆时针方向旋转90能与y轴的正半轴重合.要点二空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标1.点的坐标空间一点M的位置完全由有序实数组 (x,y,z)确定，因此将(x,y,z)称为点M的坐标，记作 M(x,y,z) .此时，x,y,z都称为点M的坐标分量，且 x称为点M的横坐标（或x坐标）， y称为点M的纵坐标（或y坐标）， z称为点
3、M的竖坐标（或z坐标）.2.向量的坐标在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量e1,e2,e3的 始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的 正方向相同，则e1,e2,e3是单位正交基底，且向量OP的坐标与P点的坐标相同，即OP=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)P(x,y,z)；反之，如果e1,e2,e3为 单位正交基底，则任意选定一点作为原点O，并使得x轴、y轴、z轴的正方向分别与e1,e2,e3的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，而且其中向量OP的坐标与P点的坐标仍然相同.要点三空间向量坐标的应用1.空间直角坐标系中向量的坐标与两点间的距离公式事实上，设
4、A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点，则OA=(x1,y1,z1)，OB=(x2,y2,z2)，所以AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)= (x2-x1,y2-y1,z2-z1)，因此AB=|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 .2.空间直角坐标系中的中点坐标公式设线段AB的中点为M(x,y,z)，则OM=(x,y,z)，又因为OM=12(OA+OB)=12(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)，所以M的坐标为(x1+x22,y1+y22,z1+z22) .这就是空
5、间直角坐标系中的中点坐标公式.自主思考1.如果点M在x轴的正方向上离原点的距离是2，那么点M的横坐标是什么？答案：提示 2.2.如果点M在y轴的负方向上离原点的距离是2，那么点M的纵坐标是什么？答案：提示 -2.3.如果点M的坐标为(2,3,-3)，那么点M到平面xOy的距离是什么？答案：提示 3.4.空间直角坐标系中一个向量的坐标表示唯一吗？答案：提示空间中一个向量的坐标因建系不同而不同，但只要坐标系确定了，向量的坐标表示一定唯一.5.已知空间两点A(2,3,-5),B(-2,1,3)，那么AB的中点M的坐标是什么？答案：提示 (0,2,-1).名师点睛1.要确定空间中点的坐标，就必须先建立
6、空间直角坐标系，确定空间中点的坐标常用的方法如下：找到点P在三条坐标轴上的投影.即过点P作三个平面分别垂直x轴、y轴、z轴于A,B,C三点（A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影），点A,B,C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为a,b,c，则(a,b,c)就是点P的坐标.2.空间中两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广，公式的推导方法就是通过构造辅助平面，将空间问题转化到平面中来处理.互动探究关键能力探究点一空间直角坐标系精讲精练例设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求点P1,P2,P3及S的坐标.答案：如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方
7、形的中心，P1P2y轴，P1P4x轴，SO在z轴上.|P1P2|=2，而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上，P1(1,1,0),P2(-1,1,0) .在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0) .又|SP1|=2,|OP1|=2，在RtSOP1中，|SO|=2，S(0,0,2) .解题感悟迁移应用1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M,N分别为A1B1,A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求点B，C1，B1，M，N的坐标.答案：由题意可设CA=i,CB=j,12C
8、C1=k，以CA,CB,12CC1，即i,j,k为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示.点B在y轴上，且CB=1，CB=0i+j+0k，点B的坐标为(0,1,0).同理可得点C1的坐标为(0,0,2).点B1在x轴，y轴，z轴上的射影分别为C,B,C1，点B1的坐标为(0,1,2).同理可得点M的坐标为(12,12,2)，点N的坐标为(1,0,1).探究点二空间向量坐标的应用精讲精练类型一空间向量的坐标表示例1（1）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(-1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )A.AB=(-1,2,1) B.AB=(1,3,4)C.AB=(2,1
9、,3) D.AB=(-2,-1,-3)（2）已知A(3,-2,4),B(0,5,-1)，若OC=23AB，则C的坐标是( )A.(2,-143,103) B.(-2,143,-103)C.(2,-143,-103) D.(-2,-143,103)（3）已知点A(3,2,-4),B(5,-2,2)，则线段AB的中点坐标为 .答案：（1）C（2）B（3）(4,0,-1)解析：（1）AB=OB-OA=(2,1,3) .（2）AB=(-3,7,-5)，OC=23(-3,7,-5)=(-2,143,-103)，C的坐标是(-2,143,-103) .（3）设中点坐标为(x0,y0,z0)，则x0=3+5
10、2=4，y0=2-22=0，z0=-4+22=-1，所以线段AB的中点坐标为(4,0,-1).类型2 空间向量坐标的应用例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.（1）求证：EFCF；（2）求EF与CG的夹角的余弦值；（3）求CE的长.答案：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0),E(0,0,12),C(0,1,0),F(12,12,0),G(1,1,12) .所以EF=(12,12,-12)，CF=(12,-12,0)，CG=(1,0,12)，CE=(0,-1,12) .证明：因为EFCF=1212+12(-12)
11、+(-12)0=0，所以EFCF .（2）因为EFCG=121+120+(-12)12=14，|EF|=(12)2+(12)2+(-12)2=32，|CG|=12+02+(12)2=52，所以cosEF,CG=EFCG|EF|CG|=143252=1515 .（3）CE=|CE|=02+(-1)2+(12)2=52 .变式本例的条件不变，证明CD1BA1 .答案：证明由本例的解析可知，C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),A1(1,0,1)，所以CD1=(0,-1,1),BA1=(0,-1,1)，所以CD1=BA1，所以CD1BA1 .解题感悟（1）若存在坐标系，则根据几何体
12、的结构特征写出相关点的坐标，进而得向量的坐标，利用向量的坐标运算求夹角和距离问题.（2）若不存在坐标系，则要结合几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后，按照（1）求解即可.迁移应用1.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)，则ABC的形状是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案：A解析：因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)，所以BA=(4-7)2+(3-1)2+(1-2)2=14，CA=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6，CB=(7-5)2+(1-2)2+(
13、2-3)2=6，所以CA=CB，所以ABC是等腰三角形.2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1)，则AC与AB的夹角为( )A.30 B.45 C.60 D.90答案：C解析：设AC与AB的夹角为，由题意，得AC=(-1,1,0),AB=(0,3,3)，cos=ACAB|AC|AB|=3232=12，又0180，=60 .3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点M在A1C1上，MC1=2A1M，点N在D1C上且为D1C的中点，求M,N两点间的距离.答案：如图，以A为原点，分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
14、系，则A1(0,0,4),C1(2,2,4),C(2,2,0),D1(0,2,4)，设M(x,y,z)，由MC1=2A1M，可得(2-x,2-y,4-z)=2(x,y,z-4)，即2-x=2x,2-y=2y,4-z=2(z-4),解得x=23,y=23,z=4,则M(23,23,4) .由N为CD1的中点，可得N(1,2,2) .MN=(1-23)2+(2-23)2+(2-4)2=533 .评价检测素养提升1.已知O(0,0,0),N(5,-1,2),A(4,2,-1)，若ON=AB，则点B的坐标为( )A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)答案：B2.已知A(1,-2,2),B(-2,1,2),C(-1,-1,0)，则|2AB-AC|等于( )A.35 B.532 C.372 D.212答案：A3.在空间直角坐标系中，点P(-2,1,4)关于点A(1,0,2)对称的点P1的坐标是 .答案：(4,-1,0)4.已知A(0,1,2),B(-2,2,2),C(x,3,3)，若ABAC，则x= .答案：1
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