1、第2课时空间向量的数量积课标解读课标要求素养要求1.掌握空间向量的夹角的概念及表示方法.2.理解两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量的夹角和判断向量垂直.1.数学抽象能理解两个向量的数量积的定义及运算规律.2.直观想象能根据图形与数量积的定义计算两个向量的数量积.3.数学运算能根据向量的数量积判定两个向量垂直.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一空间向量的夹角与垂直1.向量的夹角平面内，给定两个非零向量a,b， 任意在平面内选定一点O，作OA=a，OB=b，则大小在0,内的AOB称为a与b的夹角，记作 a,b .2.向量的垂
2、直如果a,b=2，则称向量a与b垂直，记作ab；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都 垂直 .要点二空间向量的数量积1.数量积的定义平面内，两个非零向量a与b的数量积（也称为内积）定义为ab=|a|b|cosa,b .2.数量积的几何意义两个向量数量积的几何意义与 投影有关，如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作 垂线，即可得到向量a在向量b .上的投影a，a与b的数量积等于a在b上的投影a的数量与b的长度的 乘积 .特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a的数量.规定零向量与任意向量的数量积为 0 .3.向量在直线（或平面）上的投影一般地，给定空间向量a和空间中的直线l（
3、或平面），过a的始点和终点分别作直线l（或平面）的垂线，假设垂足为A,B，则向量AB称为a在直线l（或平面）_上的投影.4.数量积的性质空间向量的数量积具有以下性质：（1）abab=0；（2）aa=|a|2=a2；（3）|ab|a|b|；（4）(a)b=(ab)；（5）ab=ba（交换律）；（6）(a+b)c=ac+bc（分配律）.自主思考1.若两个向量的夹角为0或，则这两个向量分别是什么关系？答案：提示若两个向量的夹角为 0，则这两个向量方向相同；若两个向量的夹角为，则这两个向量的方向相反.2.若ab，a,b为非零向量，且ac，则向量b与c的夹角的大小是什么？答案：提示2 .3.两个向量的数
4、量积是一个实数还是一个向量？若是一个实数，其符号是由什么确定的？答案：提示两个向量的数量积是-一个实数，其符号由cosa,b决定，即当a,b是锐角时，ab0；当a,b是钝角时，ab0，则a,b是锐角答案：B ; C2.已知|a|=2,|b|=3,a,b=60，则|2a-3b|=答案：613.已知正四面体DABC的棱长为1，点E是AB的中点，则ECAD的值为 .答案：14素养演练数学运算利用数量积求向量的夹角1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，AB=BC=1，AA1=2，求向量BA1,AC的夹角的余弦值.解析：审：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，求向量BA1,AC的夹角的余弦值.联：由已知得AB=BC=1,BB1=AA1=2，所以用向量BA，BC和BB1表示向量BA1和AC，然后用数量积求BA1,AC的夹角的余弦值.答案：解：BA1= BA+BB1，AC=BC-BA，且BABC=BB1BA= BB1BC =0，BA1AC=-BA2=-1 .又|AC|=2,|BA1|=1+2=3，cosBA1,AC= BA1AC|BA1|AC|=-16=-66，故BA1,AC的夹角的余弦值为-66 .解析：思：求两个空间向量a,b夹角的方法类同于平面内两个向量夹角的求法，利用公式cosa,b=ab|a|b| .
