1、第 1 页（共 4 页）第 2 页（共 4 页）2020 届高三年级寒假考试理科数学试题（四）答案三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】解：（1）由题意，Sn-1=1-2an，则有 Sn=1-2an+1，两式相减，整理得 an+1=an，（n2）当 n=2 时，S1=a1=1-2a2，解得 a2=a1 数列an是以 为首项，为公比的等比数列 an=，nN*又bn=-2Tn-1=Tn-Tn-1，n2 整理，得=Tn+Tn-1，n2 bn0，Tn0=1，n2 即 2bn=bn+1+bn-1，n2 根据等差中项的性质，可知数列bn成等差
2、数列 b1=1，b2=2，d=b2-b1=2-1=1 数列bn是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 bn=n，nN*（2）由（1），得 cn=-，可得：Pn=c1+c2+cn=（1-）+（-）+（-）=1-18.【详解】在等腰梯形 ABCD 中，/,1ADBC ADAB，60ABC，120,30BADCDAADB ，90CDB.即.BDCD2221203BDABADAB AD cos，2BC.又平面 BDEF 平面 ABCD，平面 BDEF 平面,ABCDBD CD 平面 ABCD，CD 平面 BDEF CD 平面CDE，平面CDE 平面 BDEF （2）解:由(1)知，分别以直线,DB D
3、C DE 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设03()EMmm，则3,0,0,0,1,0,0 0 0),(,BCD，,0,3,3,1,0M mBC ，()3,0,3,3,0,()0BMmDB设平面 BMC 的法向量为,nx y x 00n BCn BM ，即 130330 xymxz 令3x，则3,3yzm，平面 BMC 的一个法向量为3,3,3()nm.设 BD 与平面 BCM 所成角为，,sincosn BD2,3312n BDn BDm当0m 时取最小值55，当3m 时取最大值 12故 BD 与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围为5 1,52.19.【解析】（1）将点(2,
4、1)M代入抛物线C：2xay，得4a，由24xyykxb，得2440 xkxb，设11(,)A x y，22(,)B xy，则124xxk，1 24x xb，12121212()4224OAOBkxbkxbb xxkbkkkkkxxx xb，由已知得1k .（2）在直线l 的方程 yxb 中，令0 x 得(0,)Db，12DMbk，直线 DM 的方程为：11(2)2byx，即(1)2b xyb，由24(1)2xyb xyb，得22(1)40 xb xb，解得：2x，或2xb，所以2(2,)Nb b，由24xy，得214yx，求导得12yx，切线n 的斜率1(2)2kbb ，切线n 的方程为：2
5、(2)ybb xb，即2ybxb，由2ybxbyxb ，得直线l、n 交点Q纵坐标221Qbyb，在直线 yxb ，2ybxb 中分别令0y，得到与 x 轴的交点(,0)R b，(,0)Eb，所以231122|()2211QbbSRE ybb bb，求导得222(23)(1)bbSb，(1,)b，当3(1,)2b时，函数单调递减；当3(,)2b 时，函数单调递增；所以当32b 时，S 最小值为3332()227231212bb.第 3 页（共 4 页）第 4 页（共 4 页）20.【详解】(1)32()11232xf xexxx 1xfxexx.令 ,1xxh xex hxe，0hx 得0 x
6、，0hx 得0 x，h x 在(,0)上递减，在(0,)上递增.010h xh 即0 xex，解 0fx 得1x，解 0fx 得1x ，f x的单调减区间为(,1)，单调增区间为(1,).(2)221xxxfxexekxkxekxx，f x 有三个极值点，方程0 xekx有两个不等根，且都不是1，令 xg xekx，0k 时，g x 单调递增，0g x 至多有一根，0k 解 0gx 得 xlnk，解 0gx 得 xlnk.g x在(n),l k上递减，在(ln,)k 上递增，ln10,kg lnkeklnkklnkke此时，010g，1,10lnkgek，x 时 g x .ke 时，0fx 有
7、三个根123,x x x，且12301xxx，由11xekx得11xlnklnx，由33xekx得33xlnklnx，3131lnln1xxxx下面证明:313131lnln2xxxxxx，可变形为331311121xxxlnxxx 令311xtx，21ln1txtt 222114011txttt t，x在(1)，上递增，10t313131lnln21xxxxxx，3122.xxx 21.【详解】(1)设考生成绩为 X，则依题意 X 应服从正态分布，即2180,XN.令180XY，则0,1YN.由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X 即3036010.9852000
8、P X ，亦即360 1800.985P Y.则 360 1802.17，解得83180,832N，设最低录取分数线为ox，则0180300832(0)0 0oxP XxP Y 则018030010.85832000 xP Y，01801.0483x 266.32ox.即最低录取分数线为266 分或267 分.(2)考生甲的成绩286267，所以能被录取.286 180()2861.280.9083P XP YP Y，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1 0.900.10,2000 0.1200，即考生甲大约排在第200 名，排在275 名之前，所以他能获得高薪职位.请考生在第 22、2
9、3 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.【详解】（1）由已知得，圆心6,3C的直角坐标为 3,3 3C，3r，所以C 的直角坐标方程为2233 39xy，所以圆C 的参数方程为33cos3 33sinxy（为参数）（2）由（1）得，圆C 的极坐标方程为26cos3sin270，即212 sin276 设,P ，1,Q ，根据:2:3OPPQ，可得1:2:5 ，将152代入C 的极坐标方程，得225120 sin10806，即动点 p 轨迹的极坐标方程为225120 sin10806 23.解：（1）证明：x，y，z 均为正数，|x+z|y+z|=（x+z）（y+z）=，当且仅当 x=y=z 时取等号 又0 xy1，|x+z|y+z|4xyz；（2）=，当且仅当 x=y=z=1 时取等号，xy+yz+xz3，2xy2yz2xz=2xy+yz+xz8，2xy2yz2xz的最小值为 8
