1、河北省唐山市第十一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一单选题(本题共10小题.每小题只有一个选项符合要求.)1. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）A. 棱锥B. 圆锥C. 圆柱D. 正方体【答案】C【解析】【分析】判断出圆柱的截面图形即可求解. 【详解】圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.故选：C【点睛】本题考查了几何体的截面图形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.2. 若球的体积与表面积相等，则球的半径是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设球的半径为，利用球体的
2、体积和表面积公式建立关于的方程，解出即可.【详解】设球的半径为，由题意可得，解得.故选：C.【点睛】本题考查球体半径的计算，利用球体的表面积和体积公式建立方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.3. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设球的半径为，圆的半径为，利用球的截面的性质求得圆的半径，进而利用圆的面积公式和球的表面积公式作出运算，即可求解.【详解】设球的半径为，圆的半径为，根据球的截面圆的性质，可得，解得，由球的表面积公式，可得球的表面积为，由圆的面积公式，可得圆的面积为，所
3、以截面圆的面积与球的表面积之比为.故选：D.4. 如图，水平放置的三角形的直观图，是边上的一点且，轴，轴，那么三条线段对应原图形中的线段中（ ）A. 最长的是，最短的是B. 最长的是，最短的是C. 最长的是，最短的是D. 最长的是，最短的是【答案】D【解析】【分析】直接利用斜二测画法求解【详解】因为轴，轴，所以在原图中，所以，又因为，所以，故选：D5. 下列说法正确的是（ ）A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一条直线的两条直线平行C. 平行于同一个平面的两条直线平行D. 平行于同一个直线的两个平面平行【答案】B【解析】【分析】由空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系
4、逐项判断所给选项可得.【详解】垂直于同一个直线的两条直线可能相交，则A错误；根据平行的传递性可知，B正确；平行于同一个平面的两条直线可能相交，则C错误；平行于同一个直线的两个平面可能相交，则D错误；故选：B6. 在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据正方体的性质判断异面直线的夹角即可知正确选项.【详解】根据各选项图形知：A中ABCD；B中和的夹角为；C中和的夹角为；D中和的夹角为；故选：A【点睛】本题考查了利用正方体的性质判断异面直线是否垂直，属于基础题.7. 如图.是圆的直径，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
5、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.【详解】是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，即面，而面，又面面，由二面角的定义：为二面角的平面角.故选：C8. 已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，底面为正方形，则侧棱与底面所成的角为（ ）A. 75B. 60C. 45D. 30【答案】C【解析】【分析】画出正四棱锥，可得在底面的投影是正方形的中心，则可求出.【详解】如图，正四棱锥中，在底面的投影是正方形的中心，则即为侧棱与底面所成的角，侧棱长与底面边长都是1，则，.故选：C.9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方
6、形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2r，全面积：侧面积=（2r）2+2r2：（2r）2这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 38B. 26C. 40D. 33【答案】A【解析】【分析】由几何体的三视图得到该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱体，根据三视图中的数据，结合表面积公式，即可求解.【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱体，如图所示，其中长方体的长宽高分别为，其表面积为，圆柱体的底面半径为，母线长为1，所以圆柱体的底面
7、积为，侧面积为，所以该组合体的表面积为长方体的表面积减去圆柱的底面积，再加上圆柱的侧面积：所以该组合体的表面积为.故选：A.二多选题(本题共2小题.每小题有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分.)11. 已知，表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（ ）A. ，B. ，且C. ，D. ，【答案】ABC【解析】【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断.【详解】A. 因为，则平行或相交，故错误；B. 因为，则或 ，或 ，故错误；C. 因为，则平行或相交，故错误；D. 因为，由面面平行的性
8、质定理得 ，故正确；故选：ABC12. (多选)如图是正方体的平面展开图在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. BM与ED平行B. CN与BE是异面直线C. CN与BM成60角D. DM与BN垂直【答案】CD【解析】【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题【详解】由题意画出正方体的图形如图：BM与ED是异面直线，CN与BE平行 ，不正确；与成角，即，正确；平面，所以正确；故选：【点睛】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题三填空题(本题共4小题)13. 已知某三角形的直观图是边长为的正三角形，那么原三角形的面积为_.【答案
9、】【解析】【分析】先画出原图，利用斜二测画法画直观图的思想画出原图，再利用正弦定理求出原三角形的高，最后利用面积公式求出原三角形的面积.【详解】设原三角形为，为它的直观图，画出图形，建立如图所示的坐标系，的顶点在轴上，在轴上，为的高，将轴绕原点逆时针旋转得轴，则变为，且，即为，长度不变，由正弦定理得，则，.【点睛】本题考查已知三角形直观图的边长求原三角形面积，解题的关键是先画出直观图，再利用斜二测画法画直观图的思想画出原图，即可求出高，得出面积.14. 如图所示，在正方体中，截面与底面所成二面角大小为_.【答案】【解析】【分析】确定为截面与底面所成二面角的平面角，结合正方体的性质即可确定二面角
10、的大小【详解】平面，为所求二面角的平面角，其大小为.【点睛】本题考查了二面角的计算，关键是确定二面角的平面角，属于基础题15. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是_.【答案】3【解析】【分析】设球的半径为cm，由球的体积等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径.【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为cm，则：，解得：，故答案为：316. 如图，在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】首先连接，根据得到或其补角为异面直线与所成角，在中，利用余弦定理计算其余弦值即可.【详解】连接，如图所示：因为，所以或其补角为异面
11、直线与所成角.，.在中， .故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，“平移找角”为解题的关键，属于简单题.四解答题(本题共6小题.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 如图所示，正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的点，求三棱锥的体积.【答案】【解析】【分析】将所求三棱锥转化为，利用等面积法求得,再根据正方体的几何性质求得高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】解：因为E点在截段上，所以.又因为F点在线段上，所以点F到平面的距离为1，即.所以.【点睛】本小题主要考查三棱锥的体积计算，考查同底等高三角形面积的求法，考查两平行平面间距离，考查空间想象能力，属于基础题.18. 如图所示
12、，在四边形中，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】，【解析】【分析】分析可得四边形绕直线旋转一周所形成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，分别求出表面积和体积即可.【详解】解：如图所示：四边形绕直线旋转一周所形成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，则是等腰直角三角形，又，设几何体的表面积为，下底面为，圆台的侧面积为，圆锥的侧面积为， ，设几何体的体积为，圆台的体积为,圆锥的体积为，.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是画出四边形绕旋转一周所形成的几何体.19. 在四棱锥中，平面，（1）求证：平面（2）求证：平面平面【答案】（1）证明见解析; （2）证明见解析【解析】【分析】（1） 要证
13、平面，先证DC垂直面中两条相交直线即可.（2） 要证面面垂直，先证面中一条直线垂直于另一面即可.【详解】（1） 平面 平面， ，又，且，平面.（2） 平面，且，平面，又平面，平面平面【点睛】考查线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理.难度一般.20. 如图所示，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据FG为中位线，可得且，由题意得且，则可得为平行四边形，则.利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据平面，可得，又为等腰三角形，F为BC中点，可得，利用线面垂直判定定理，即可得证.【详解】（1）证明
14、：取的中点，连接，如图所示：因为，分别为，的中点，所以且.又且，所以且，所以四边形为平行四边形，则.因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以.因为为的中点，且，所以，又，所以平面，因为.所以平面.21. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面来得到面面垂直；（2）求出的长度，直接根据三棱锥的体积可得结果.【详解】（1）证明：在三棱柱中，底面.所以.又因为，所以平面.所以平面平面.（2）解：因为，所以.所以三棱锥的体积.22. 如图所示，四棱锥底面是边长为1的菱形，是的中点，底面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证平面，即可由线面垂直求得面面垂直；（2）根据二面角定义，容易知即为所求，结合已知条件，即可容易求得.【详解】（1）证明：如图所示，连接，由是菱形且知，是等边三角形.因为是的中点，所以，又，所以，又因为平面，平面，所以，而，因此平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，平面，所以.又，所以是二面角的平面角.在中，.故二面角的大小为.【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由定义法求二面角的大小，属综合基础题.
