1、2.4.2 圆的一般方程课标要求素养要求课标解读1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2. 能根据圆的一般方程解决与圆有关的轨迹方程问题.1. 逻辑推理能进行圆的一般方程与标准方程的互化.2. 数学运算会求圆的一般方程.自主学习必备知识教材研习 教材原句对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （ *）讲行配方，得(x+D2)2+(x+E2)2= D2+E2-4F4 .（1）当D2+E2-4F0 时，方程（ *）表示以(-D2,-E2) 为圆心，步12D2+E2-4F 为半径的圆；（2）当D2+E2-4F=0 时，方程（* ）只有实数解x=-D2 ，y=-E2 ，它表示一个点(-D2,
2、E2) ；（3）当D2+E2-4F0 时，方程（*）表示一个圆.我们把方程（*）叫做 圆的一般方程 .自主思考方程x2+y2+x+y=0 表示圆吗？方程x2+y2+x+y+1=0 也表示圆吗？提示 x2+y2+x+y=0 表示圆，因为D2+E2-4F=20 ，所以它表示圆. x2+y2+x+y+1=0 不表示圆，因为D2+E2-4F=-20 ，所以它不表示圆. 名师点睛1.二元二次方程要想表示圆，需满足x2 和y2 的系数相同且不为0，没有xy这样的项.2.几个常见的圆的一般方程（1）过原点的圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey=0(D0,E0) ；（2）圆心在y 轴上的圆的一般方程：x2+y
3、2+Ey+F=0(E2-4F0) ；（3）圆心在x 轴上的圆的一般方程：x2+y2+Dx+F=0(D2-4F0) ；（4）圆心在x 轴上且过原点的圆的一般方程：x2+y2+Dx=0(D0) ；（5）圆心在y 轴上且过原点的圆的一般方程：x2+y2+Ey=0(E0) .互动探究关键能力探究点一 对圆的一般方程的认识精讲精练 例 已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0 表示一个圆.（1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆的半径R 的最大值.答案： （1）根据圆的一般方程得D2+E2-4F=(2m)2+42-4(2m2-3m)0 ，化简得-m2+3m+40 ，解得-1m4 .（2）易得R
4、2=-m2+3m+4=-(m-32)2+254254 ，当且仅当m=32 时，该圆的半径R 取得最大值，为52 .解题感悟 判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆，关键是判断D2+E2-4F 的正负.迁移应用1.圆x2+y2-2x+6y+8=0 的面积为( )A.8 B.4 C.2 D.答案： C解析：原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2 ， 半径r=2 ， 该圆的面积S=r2=2 .2.已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0 的圆心在直线x+y-7=0 上，则该圆的周长为 .答案： 4解析： x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(
5、x-m)2+y-(2m+1)2=m2 ，即圆心为(m,2m+1) ，半径r=|m| ， 圆心在直线x+y-7=0 上，m+2m+1-7=0 ，即m=2 ， 圆的半径r=2 ，故圆的周长为2r=4 .探究点二 求圆的一般方程 精讲精练类型1 已知三点求圆的一般方程 例1 已知ABC 的三个顶点分别为A(-2,0) ，B(0,2) ，C(2,-2) ，求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）ABC 的外接圆的一般方程.答案： （1）由题意可知直线AB的斜率k=2-00-(-2)=1 ，所以AB 边上的高所在直线的斜率k=-1 ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y+2=-(x-2) ，即x+
6、y=0 .（2）设ABC 的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F0 ，由题意得-2D+F+4=0, 2E+F+4=0, 2D-2E+F+8=0, 解得D=-23,E=23, F=-163,所以ABC 的外接圆的一般方程为x2+y2-23x+23y-163=0 .、思路分析 （1）根据题意求出直线AB的斜率，由垂直关系得到AB 边上的高所在直线的斜率，根据点斜式写出AB 边上的高所在直线的方程.（2）设出ABC 外接圆的一般方程，代入三点的坐标即可求得对应的系数，即可得到所求圆的一般方程.解题感悟 已知三点求圆的一般方程一般用待定系数法，设出圆的一般方程，列出关于D
7、 ，E ，F 的方程组，解三元一次方程组，求出D ，E ，F 的值，并把它们代入所设的方程中即可.类型2 已知圆心求圆的一般方程例2已知直线l 在y 轴上的截距为-2，且与直线x-2y-1=0 垂直.（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的一般方程.答案： （1）根据题意，设直线l的方程为y=kx-2 .因为直线x-2y-1=0 的斜率为12 ，所以直线l 的斜率k=-2 ，所以直线l 的方程为y=-2x-2 .（2）由题意知OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12|AB| .由（1）知y=-2x-
8、2 ，所以A(-1,0),B(0,-2) ，所以C(-12,-1),|AB|=5 ，所以圆C 的标准方程为(x+12)2+(y+1)2=54 ，故圆C的一般方程为x2+y2+x+2y=0 .思路分析 （1）根据题意，设直线l的方程为y=kx-2 ，由垂直关系得到直线l 的斜率，进而可得直线l 的方程.（2）求出A ，B两点的坐标，由题意知线段AB的中点是圆心C ，|AB| 是圆C 的直径，由此可求得圆C 的一般方程.解题感悟 求圆的一般方程时，先确定圆心的坐标和半径，由圆心的坐标、半径求出圆的标准方程，再化为圆的一般方程.迁移应用1.经过点A(1,5) 和B(2,-22) ，且圆心在x 轴上的
9、圆的一般方程为( )A.x2+y2-6y=0 B.x2+y2+6y=0C.x2+y2+6x=0 D.x2+y2-6x=0答案： D解析：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) ，因为圆心在x 轴上，所以-E2=0 ，即E=0 .又圆经过点A(1,5) 和，B(2,-22) ，所以12+(5)2+D+F=0, 22+(-22)2+2D+F=0,解得D=-6,F=0,故所求圆的一般方程为x2+y2-6x=0 .2.经过三点(2,-1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为 .答案： x2+y2-4x-8y-5=0解析： 设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey
10、+F=0(D2+E2+4F0) ，因为圆经过点(2,-1)，(5,0)，(6,1)，所以4+1+2D-E+F=0,25+5D+F=0, 36+1+6D+E+F=0,解得D=-4,E=-8,F=-5 ，所以所求圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0 .探究点三 直接法求点的轨迹方程 精讲精练 例 （2021四川成都高二期中）如图，已知圆O ：x2+y2=16 ，A ，B 是圆O 上两个动点，点P(2,0) ，求矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程.答案： 设点C(x,y) ，如图，连接AB,PC 交于M ，由四边形PACB 是矩形可知M 为PC 的中点，则M(x+22,y2) ，且|PM|=
11、|MB| ，连接OB,OM ，在RtOMB 中，OMMB ，则|OB|2=|OM|2+|MB|2=|OM|2+|PM|2, 即16=(x+22)2+(y2)2+(x+22-2)2+(y2)2, 整理得x2+y2-28=0,所以顶点C 的轨迹方程是x2+y2=28 .解题感悟 直接法求点的轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系，设出动点的坐标为(x,y) ；（2）列出动点满足的条件；（3）用坐标表示上述条件，列出方程；（4）将上述方程化简；（5）检验化简后的方程就是点的轨迹方程.迁移应用已知两定点A(-2,0) ，B(1,0) ，若动点P 满足|PA|=2|PB| ，则点P 的轨迹为
12、( )A.直线B.线段C.圆D.半圆答案： C解析：设点P 的坐标为(x,y) ，A(-2,0),B(1,0) ，动点P 满足|PA|=2|PB| ，(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2 ，两边平方得(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2 ，即(x-2)2+y2=4 ， 点P 的轨迹为圆.评价检测素养提升1.（2021山东滨州博兴三中高二月考）圆x2+y2+2x-6y+8=0 的圆心和半径分别是( )A.(-1,3)，2B.(-1,2)，22C.(-1,3)，22D.(-1,3)，2答案： D2.已知直线l 过圆x2+y2-2x=0 的圆心，且与直线2x-y-1=0 平行，则l 的方程是( )A.2x+y-2=0 B.2x-y+2=0C.2x-y-3=0 D.2x-y-2=0答案： D3.（2021北京怀柔一中高二期中）已知方程x2+y2-2mx+4my+6m2-1=0 表示圆，则实数m 的取值范围是 .答案： (-1,1)4.（2021宁夏青铜峡高级中学高二期中）若圆经过点A(2,0) ，B(4,0) ，C(0,2) ，求圆的一般方程.答案： 设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) ，则4+2D+F=0,16+4D+F=0,4+2E+F=0, 解得D=-6,E=-6,F=8, 所以圆的一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0 .
