1、课时评价作业基础达标练1.（2020 广东广州海珠高二期末联考）在长方体 中，则异面直线 与 所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案：2.（2021 安徽皖北名校高二第二次联考）如图，在四棱锥 中，底面 ，底面 是边长为 2 的正方形，为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案：3.（2020 山东济南莱芜一中高二质检）在棱长为 1 的正方体 中，点 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值是()A.B.C.D.答案：4.在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案：5.（2021 吉林吉化一中高二月考）在正方体 中，分别
2、是 ，的中点，则直线 与 所成角的余弦值是()A.B.C.D.答案：6.（多选题）（2021 山东济宁曲阜一中高二段测）如图，已知 是棱长为 2 的正方体 的棱 的中点，是棱 的中点，设点 到平面 的距离为，直线 与平面 所成的角为，平面 与平面 的夹角为，则()A.平面 B.C.D.答案：;7.（2020 黑龙江绥化青冈一中高二月考）正三棱锥 的侧面都是直角三角形，分别是 ，的中点，则 与平面 所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案：8.如图所示，正方体 的棱长为 6，、分别是棱 、上的动点，且 .当 、共面时，平面 与平面 夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案：9.（2021 湖北孝感
3、应城一中高二期末）在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，点 为 的中点，点 在 的延长线上且 ，则异面直线 与 所成的角为()A.B.C.D.答案：解析：在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，故以 BC，所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.因为 ，所以 所以 ，又 ，所以 ，故 ，所以 ，所以向量 的夹角为 ，又异面直线 与 所成角的取值范围是 ，所以异面直线 与 所成的角为 .10.如图，平面 ，则平面 与平面 夹角的余弦值为.答案：素养提升练11.（多选题）（2020 辽宁丹东高二期末）在正三棱柱 中，则()A.与底面 所成角的正弦值为 B.与底面 所成角的正弦值为 C.与侧面 所成角的正弦值为 D.与
4、侧面 所成角的正弦值为 答案：;解析：取 的中点，的中点，连接 ，则 ，两两垂直，则以 为原点，所在直线分别为 轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 .，底面 的一个法向量为 ，与底面 所成角的正弦值为 ，错，B 对;取 的中点，的坐标为 ，侧面 的一个法向量为 与侧面 所成角的正弦值为 ，故C 对，D 错.12.（2021 山东济宁高二期末）如图，在直四棱柱 中，四边形 为平行四边形，直线 与平面 所成角的正弦值为 .（1）求点 到平面 的距离;（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.答案：（1）因为 ，所以 ，所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ，所以 ，设平面 的法向
5、量为 ，则 即 所以 ，所以 ，解得 （负值舍去），所以 ，所以点 到平面 的距离为 .（2）设平面 的法向量为 ，则 即 所以 ，所以 .由题图可得平面 与平面 的夹角为锐角，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .13.（2020 福建漳州高二第二次质检）如图，在三棱台 中，.（1）证明：；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.答案：（1）过 作 交 于点，连接 ，因为 ，所以 ，所以 ，同理可得 ，因为 ，所以 ，所以 .以 为原点，的方向分别为 轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系 ，易知 ，所以 ，.证明：易知 ，所以 所以 ，所以 .（2）易知 ，设 ，是平面 的法向量，则 即 取 ，则
6、 ，所以 ，易知平面 的一个法向量为 ，则 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .14.（2021 广东深圳外国语学校高二月考）如图，在三棱锥 中，为等边三角形，的中点 为三角形 的外接圆的圆心，点 在边 上，且 .（1）求 与平面 所成的角；（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.答案：（1）连接 ，在 中，由 的中点 为三角形 的外接圆的圆心，可知，三角形 为等腰直角三角形，所以 ，且 .在 中，为 的中点，则 ，且 .在 中，满足 ，所以 ，又 ，平面 ，所以 平面 ，故 与平面 所成的角为 .（2）因为 ，两两垂直，所以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，所以 ，由 得 ，
7、所以 ，则 ，设平面 的法向量为 ，则 令 ，得 ，由（1）知 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，所以 ，所以 .故平面 与平面 夹角的正弦值为 .创新拓展练15.如图，是以 为直径的半圆 上异于、的点，矩形 所在的平面垂直于圆 所在的平面，且 .（1）求证：；（2）若异面直线 和 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.命题分析考查了空间中线线垂直的证明和平面与平面夹角的求解.答题要领（1）由面面垂直的性质可证得 ，再根据线面垂直的判定定理和性质定理可证得.（2）取 的中点，连接 ，以点 为坐标原点，所在的直线为 轴，所在的直线为 轴，过点 作与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系 .先求两平面的法向量，再利用向量法求平面 与平面 夹角的余弦值.详细解析（1）证明：易知 ，平面 垂直于圆 所在的平面，且两平面的交线为 平面 垂直于圆 所在的平面.又 在圆 所在的平面内，.为圆 的直径，又 平面 ，平面 ，平面 ，.（2）取 ，连接 ，以点 为坐标原点，所在的直线为 轴，所在的直线为 轴，过点 作与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系 .由异面直线 和 所成的角为 ，知 ，由题设可知 ，.设平面 的法向量为 ，则 即 取 得 ，.易知平面 的一个法向量为 ，.故平面 与平面 夹角的余弦值 .解题感悟 通常利用向量法解决两平面的夹角问题.
