1、5.5.2 简单的三角恒等变换课标解读课标要求素养要求1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想.3.掌握辅助角公式及其应用.数学运算能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明.自主学习必备知识 教材研习教材原句要点一 半角公式sin2=1-cos2 .cos2=1+cos2 .tan2=1-cos1+cos .要点二 积化和差公式与和差化积公式1.积化和差公式：sincos=12sin(+)+sin(-) .cossin=12sin(+)-sin(-) .coscos=12cos(+)+cos(-) .sinsin=-12cos(
2、+)-cos(-) .2.和差化积公式:sin+sin=2sin+2cos-2 .sin-sin=2cos+2sin-2 .cos+cos=2cos+2cos-2 .cos-cos=-2sin+2sin-2 .自主思考 1.如何根据cos30 求sin15 ?答案：提示 sin15=1-cos302=1-322=6-24.2.如何根据cos30 求cos15 ?答案：提示 cos15=1+cos302=1+322=6+24 .3.试判断sin45cos15 和sin60 +sin30 的大小.答案：提示 因为sin60+sin30=2sin45 cos15 ,且sin450,cos150 ,所
3、以sin60+sin30sin45cos15 .名师点睛1.tan2 与sin ,cos 的关系为tan2=sin1+cos=1-cossin .2.三角函数式的化简要将异角化同角,复角化单角,异次化同次等,化简要求是项数尽量少,次数尽量低,函数种类尽量少,能求值的必须求出函数值,数值结果也要化为最简形式遵循“三看”原则：（1）一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;（2）二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;（3）三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等3
4、.辅助角公式y=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+).一般地,辅助角 的取值范围是（0,2 ）.辅助角公式中, 的终边经过点(a,b) ,且tan=ba （或由sin=ba2+b2 和cos=aa2+b2 共同确定）. 互动探究关键能力 探究点一 半角公式的应用精讲精练例已知cos=-35 ,且1802 ,则可以先利用三角函数的诱导公式变角和变名后,再化简.迁移应用（2021湖北天门高一期末）已知函数f(x)=sin(2x+3)-3cos(2x+3) .（1）写出f(x) 的单调区间;（2）求f(x) 在-6,3 上的值域.答案：（1）f(x)=sin(2x+3)-3cos(2x+
5、3)=212sin(2x+3)-32cos(2x+3)=2sin2x .由2k-22x2k+2(kZ) ,得k-4xk+4(kZ) .由2k+22x2k+32(kZ) ,得k+4xk+34(kZ) .综上,f(x) 的单调递增区间为k-4,k+4(kZ) ,单调递减区间为k+4,k+34(kZ) .（2）由（1）知f(x)=2sin2x ,因为-6x3 ,所以-32x23 ,所以-32sin2x2 ,所以函数f(x) 在-6,3 上的值域为-3,2 .评价检测素养提升课堂检测1.已知cos=35,(32,2) ,则sin2 等于( )A.55 B.-55 C.45 D.255答案：A2.函数f
6、(x)=cos2(x+4),xR ，则f(x) ( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数答案：D3.化简：cos20-cos50= ( )A.cos35cos10 B.2sin35sin15C.12sin35 D.12cos35答案：B4.化简：4sincos222sin+sin2= .答案：1解析：原式=4sin1+cos22sin+2sincos=2sin(1+cos)2sin(1+cos)=1 .5.已知函数f(x)=sinx+acosx 图象的一条对称轴是直线x=53 ,则函数g(x)=asinx+cosx 的最大值是 .答案：233解析：
7、由于函数f(x) 的图象关于直线x=53 对称,则f(0)=f(103) ,所以a=-32-a2 ,解得a=-33 ,所以g(x)=-33sinx+cosx=233sin(x+23) ,所以g(x)max=233 .素养演练数学运算三角恒等变换公式的应用1.已知sin+sin=14,cos+cos=13 ,求cos(-) 和cos(+) 的值.审：要求两角差与和的余弦值,可以将条件等式进行变形再运算.联：联想和差化积公式,对三角函数的名称进行变换.答案：解：解法一：由sin+sin=14 两边平方,得sin2+2sinsin+sin2=116 ,(a) 由cos+cos=13 两边平方,得co
8、s2+2coscos+cos2=19 ,(b)(a)+(b) 得cos(-)=-263288 .(b)-(a) 得cos2+cos2+2cos(+)=7144 ,即2cos(+)cos(-)+2cos(+)=7144 ,所以cos(+)=7288cos(-)+1=725 .解法二：由和差化积公式,得sin+sin=142sin+2cos-2=14 ,(c)cos+cos=132cos+2cos-2=13 ,(d)(c)2+(d)2 得4cos2-2=25144,即21+cos(-)=25144 ,所以cos(-)=-263288 .(c)(d) 得tan+2=34 ,所以cos(+)=1-ta
9、n2+21+tan2+2=725 .思：本题两种解法的比较:求cos(-) 利用解法一简单,求cos(+) 利用解法二简单.一般地,已知两个三角函数值的和与差,求两角和与差的正弦值或余弦值,往往采用和差化积或者平方后求和与差的方法进行运算.迁移应用1.已知cos-cos=12,sin-sin=-13 ,求sin(+) 的值.答案：因为cos-cos=12 ,所以-2sin+2sin-2=12 .因为sin-sin=-13 ,所以2cos+2sin-2=-13 .易知sin-20 ,所以-tan+2=-32 ,所以tan+2=32 ,所以sin(+)=2tan+21+tan2+2=2321+94=1213 .
