1、2.2 基本不等式第1课时 基本不等式课标解读课标要求素养要求掌握基本不等式aba+b2 （a0 ，b0 ，当且仅当a=b 时等号成立）.逻辑推理、数学运算能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.自主学习必备知识见学用29页教材研习教材原句a ，b R ，有a2+b22ab ，当且仅当 a=b ，等号成立.特别地，如果a0 ，b0 ，我们用a ，b 分别代替上式中的a ，b ，可得aba+b2 ，当且仅当 a=b ，等号成立.通常称aba+b2 为基本不等式.其中，a+b2 叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它
2、们的几何平均数.自主思考1.不等式m2+12m 等号成立的条件是什么？答案：提示：当且仅当m=1 时等号成立。2.已知a+b=2 ，能否得到ab1 ？说明原因.答案：提示：不能，没有a0 ，b0 的条件.例如当a=-1 ，b=3 时，a+b=2 ，但ab 无意义.名师点睛1.用比较法证明基本不等式a+b2-ab=12(a)2+(b)2-2ab=12(a-b)20 ，当且仅当a=b ，即a=b 时，取“=”.2.基本不等式的变形（1）ab(a+b2)2 ，a ，bR ，当且仅当a=b 时，等号成立.（2）a+b2ab ，a ，b 都是正数，当且仅当a=b 时，等号成立.互动探究关键能力见学用30
3、页探究点一 对基本不等式的理解自测自评1.若ab0 ，则下列不等式成立的是( )A.aba+b2ab B.aa+b2abbC.aa+b2bab D.aaba+b2b答案：B解析：ab0 ，a=a+a2a+b2abbb=b .故选B.2.下列不等式一定成立的是( )A.3x+12x6B.3x2+12x26C.3(x2+1)+12(x2+1)6D.3(x2-1)+12(x2-1)6答案：B解析：A 中，x可能是负数，故不等式不一定成立；B中，当且仅当3x2=12x2 ，即x4=16 时取等号，不等式成立；C 中，当3(x2+1)=12(x2+1) 时，(x2+1)2116 ，故不等式不成立；D中，
4、x2-1 可能是负数，故不等式不成立.故选B.3.（）（多选）设a0 ，b0 ，则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+1ab22 B.2aba+babC.a2+b2aba+b D.(a+b)(1a+1b)4答案：A ; C ; D解析：a0 ，b0 ，a+b+1ab2ab+1ab22 ，当且仅当a=b 且2ab=1ab ，即a=b=22 时取等号，故A中不等式成立；a0 ，b0 ，a+b2ab0 ，2aba+b2ab2ab ，当且仅当a=b 时取等号，2aba+bab 不一定成立，故B中不等式不成立；a2+b2a+b=(a+b)2-2aba+b=a+b-2aba+b2ab-ab=ab ，
5、当且仅当a=b 时取等号，a2+b2a+bab ，a2+b2aba+b ，故C中不等式一定成立；a0 ，b0 ，(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab2+2baab=4 ，当且仅当a=b 时取等号，故D中不等式一定成立.故选ACD.4.（2021浙江温州高一期末）已知a0 ，b0 ，a+b=1 ，则下列等式可能成立的是( )A.a2+b2=1 B.ab=1C.a2+b=12 D.a2-b2=12答案：D解析：a0 ，b0 ，a+b=1 ，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1 ，a2+b2=1 不可能成立；ab(a+b2)2=(12)2=14 ，当且仅当a=b=12 时等号成立，ab
6、=1 不可能成立；a2+b=a2-a+1=(a-12)2+3434 ，a2+b=12 不可能成立；令a2-b2=(a+b)(a-b)=a-b=12 ，联立得a+b=1,a-b=12, 解得a=34 ，b=14 ，满足条件，D中不等式成立.故选D.解题感悟 1.基本不等式aba+b2(a0,b0) 反映了两个正数的和的12 与积之间的关系.2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：（1）不等式成立的条件是a 、b 都是正数；（2）“当且仅当”的含义：当a=b 时，aba+b2 的等号成立，即a=ba+b2=ab .探究点二 利用基本不等式比较大小精讲精练例（1）已知m=a+1a-2(a2)
7、，n=4-b2(b0) ，则m ，n 之间的大小关系是( )A.mn B.mnC.m=n D.不确定（2）若0a1 ，且0b1 ，ab ，则a+b ，a2+b2 ，2ab ，2ab 中的最大者是 .答案：（1）A （2）a+b解析：（1）因为a2 ，所以a-20 ，又因为m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2 ，所以m2(a-2)1a-2+2=4 ，由b0 ，得b20 ，所以n=4-b24 .综上可知mn .（2）0a1 ，0b1 ，且ab ，a+b2ab ，a2+b22ab ， 最大者应从a+b ，a2+b2 中选择.a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1) ，0a1 ，0b1
8、 ，a(a-1)0 ，b(b-1)0 ，a2+b2-(a+b)0 ，即a2+b2a+ba+b 最大.解题思路在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.1.比较大小：x2+2x2+1 2（填“ ”“0 ，b0 ，且a+b=1 ，试比较1a+1b ，2a2+b2 ，4的大小. 答案：a0 ，b0 ，且a+b=1 ，a+b2ab ，ab14 .1a+1b=a+bab=1ab4 ，a2+b22=(a+b)2-2ab2=
9、12-ab12-14=14 ，2a2+b24 .1a+1b42a2+b2 （当且仅当a=b=12 时，取“=”）.探究点三 利用基本不等式证明不等式精讲精练 例（1）已知x ，y 都是正数，求证：(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3 ；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1 ，求证：1a+1b+1c9 .答案：（1）x ，y 都是正数，x+y2xy0 ，x2+y22x2y20 ，x3+y32x3y30 .(x+y)(x2+y2)(x3+y3)2xy2x2y22x3y3=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3 ，当且仅当x=y 时，等号成立.（2）
10、a0 ，b0 ，c0 ，且a+b+c=1 ，1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)3+2+2+2=9 ，当且仅当a=b=c=13 时，取“=”.解题感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.（2）注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组
11、合，创设使用基本不等式的条件再使用.迁移应用1.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b+3ca+a+3c2b+a+2b3c6 .答案：证明 a ，b ，c 均为正实数，2ba+a2b2 （当且仅当a=2b 时等号成立）3ca+a3c2 （当且仅当a=3c 时等号成立）3c2b+2b3c2 （当且仅当2b=3c 时等号成立），将上述三式相加得(2ba+a2b)+(3ca+a3c)+(3c2b+2b3c)6 （当且仅当a=2b=3c 时等号成立），即2b+3ca+a+3c2b+a+2b3c6 （当且仅当a=2b=3c 时等号成立）.评价检测素养提升见学用31页1.已知a0 ，b0 ，且ab=2
12、 ，那么( )A.a+b4 B.a+b4C.a2+b24 D.a2+b24答案：C2.（多选）下列结论中正确的是( )A.若a0 ，则(a+1)(1a+1)4B.若x0 ，则x+1x-2C.若a+b=1 ，则a2+b212D.若a+b=1 ，则a2+b212答案：B ; C解析：当a0 时，有(a+1)(1a+1)=2+a+1a2+2a1a=4 （当且仅当a=1a ，即a=1 时等号成立），故A中结论错误；当x0 时，有x+1x=-(|x|+1|x|)-2|x|1|x|=-2 （当且仅当|x|=1|x| ，即x=-1 时等号成立），故B中结论正确；因为a+b=1 ，所以a2+b22(a+b2)2=14 ，即a2+b212 ，故C中结论正确，D中结论错误.故选BC.3.不等式9x-2+(x-2)6 （其中x2 ）中等号成立的条件是 .答案： x=54.已知a ，b ，c 为正实数，求证：a2+b2+c2ac+ab+bc .答案：证明 因为a ，b ，c 为正实数，所以a2+b22ab （当且仅当a=b 时，取“=”），b2+c22bc （当且仅当c=b 时，取“=”），c2+a22ac （当且仅当a=c 时，取“=”）.以上三式相加，得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac) ，即a2+b2+c2ac+ab+bc （当且仅当a=b=c 时，取“=”）.
