1、2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳中学高二（上）自主练习数学试卷（8）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分答案填在相应横线上1命题“xR，x22x+30”的否定是2方程表示双曲线的充要条件是k3已知p：x22x30；，若p且q为真，则x的取值范围是4已知变量x，y满足条件，则的取值范围是5若loga1，则a的取值范围是6设等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a6a8=120，且，则S9的值为7已知Sn是等差数列an的前n项和，若S6=6，S15=75，则数列的前20项和为8已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为9在等比数列an中，已知
2、a1=1，a4=8设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列an3的前n项和若S3n=tTn，则实数t的值为10已知等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3an（S4m+1）=9，则的最小值是11已知，为锐角，且tan=，tan=，当10tan+3tan取得最小值时，+的值为12在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（ab0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为13若x，y满足log24cos2（xy）+=y2+4y3，则ycos4x的值为14已知数列的an的前n项和Sn，若an和都
3、是等差数列，则的最小值是二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知命题p：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，命题q：函数y=loga（12x）在定义域上单调递增，若“pq”为真命题且“pq”为假命题，求实数a的取值范围16已知aR，函数f（x）=x22ax+5（1）若不等式f（x）0对任意x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a1，且函数f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数a的值17设等差数列an的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为
4、，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m3，mN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由18如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设AD=x（x0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足=0，且
5、MA交椭圆于点P求的值；设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点20若数列an是首项为612t，公差为6的等差数列；数列bn的前n项和为Sn=3nt，其中t为实常数（）求数列an和bn的通项公式；（）若数列bn是等比数列，试证明：对于任意的n（nN*），均存在正整数Cn，使得bn+1=a，并求数列cn的前n项和Tn；（）设数列dn满足dn=anbn，若dn中不存在这样的项dk，使得“dkdk1”与“dkdk+1”同时成立（其中k2，kN*），求实数t的取值范围2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳中学高二（上）自主练习数学试卷（8）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14
6、小题，每小题5分，共70分答案填在相应横线上1命题“xR，x22x+30”的否定是xR，x22x+30【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“xR，x22x+30”的否定是：xR，x22x+30故答案为：xR，x22x+302方程表示双曲线的充要条件是k（1，5）【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的充要条件得到不等式，求解不等式即可得到k的范围【解答】解：方程表示双曲线的充要条件：（k+1）（k5）0，解得1k5故答案为：（1，5）3已知p：x22x30；，若p且q为真，则x的取值范围是1x2【考点】复合
7、命题的真假【分析】求出p，q的等价条件，结合复合命题p且q为真，则p，q同时为真命题建立不等式关系进行求解即可【解答】解：由x22x30得1x3，由得x20得x2，若p且q为真，则p，q都为真命题，即，解得1x2，故答案为：1x24已知变量x，y满足条件，则的取值范围是2，0【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，则z的几何意义是动点P（x，y）到点A（2，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义是动点P（x，y）到点B（2，0）的斜率，由图象可知，当直线BA的斜率最大，由，解得，即A（1，2），此时直线BA
8、的斜率zmin=，故z的取值范围是2z0，故答案为：2，05若loga1，则a的取值范围是（4，+）【考点】对数的运算性质【分析】根据对数的性质，先求出a1，然后根据对数函数的单调性，解不等式即可【解答】解：要使对数有意义，则，即a1，不等式等价为a，即12a（a1），即a2a120，即a4或a3，a1，a4，故答案为：（4，+）6设等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a6a8=120，且，则S9的值为【考点】等差数列的性质【分析】由已知式子通分化简可得a5的值，而求和公式和性质可得S9=9a5，代入计算可得【解答】解：通分可得=，又a2+a8=a4+a6=2a5，=，解得a5=，S9=9
9、a5=故答案为：7已知Sn是等差数列an的前n项和，若S6=6，S15=75，则数列的前20项和为60【考点】数列的求和【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此求出=，从而利用分组求和法能求出数列的前20项和【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，若S6=6，S15=75，解得a1=，d=，Sn=+=，=，数列的前20项和：S20=60故答案为：608已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为1【考点】函数恒成立问题【分析】根据题意不等式x3+y3kxy（x+y）可化简为，由基本不等式可知k的最大值为1【解答】解：x0，y0
10、，不等式x3+y3kxy（x+y）可化为，x2xy+y2kxy，即，由基本不等式得，k21=1，实数k的最大值为1，故答案为：19在等比数列an中，已知a1=1，a4=8设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列an3的前n项和若S3n=tTn，则实数t的值为7【考点】等比数列的性质【分析】由题意可得等比数列an的公比，可求S3n，可判数列an3是1为首项8为公比的等比数列，可得Tn，代入已知可解t值【解答】解：等比数列an中a1=1，a4=8等比数列an的公比q=2，S3n=8n1，又可得数列an3是1为首项8为公比的等比数列，其前n项和Tn=（8n1）由S3n=tTn可得8n1=t（8n1）
11、，解得t=7故答案为：710已知等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3an（S4m+1）=9，则的最小值是2.5【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，可得an=23n1；Sn=3n1，由log3an（S4m+1）=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论【解答】解：等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，an=23n1；Sn=3n1，log3an（S4m+1）=9，（n1）+4m=9，n+4m=10，=（n+4m）（）=（17+）（17+8）=2.5当且仅当m=n=2时取等号，的最小
12、值是2.5故答案为：2.511已知，为锐角，且tan=，tan=，当10tan+3tan取得最小值时，+的值为【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】先利用基本不等式求出t的值，再利用和角的正切公式，计算tan（+），即可求出+的值【解答】解：，为锐角，且tan=，tan=，tan=0，tan=0，10tan+3tan2=4，当且仅当10tan=3tan，即t=10时，10tan+3tan取得最小值4，tan=，tan=，tan（+）=1，为锐角，+=故答案为：12在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（ab0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d
13、1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】根据“d2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d2=，则，整理得a2ab=0，两边同除以a2，得+（）=0，解得e=故答案为：13若x，y满足log24cos2（xy）+=y2+4y3，则ycos4x的值为1【考点】对数的运算性质【分析】由均值定理得log24cos2（xy）+1，令y=2，得y2+4y3=1，由此能求出ycos4x的值【解答】解：4cos2（xy）+2
14、，log24cos2（xy）+1，当且仅当4cos2（xy）=，即4cos2（xy）=1时等号成立即y2+4y31，整理得y=2，4cos2（2x）=1，cos4x=，ycos4x=1故答案为：114已知数列的an的前n项和Sn，若an和都是等差数列，则的最小值是21【考点】数列的求和【分析】设数列an的公差为d，由题设条件推导出d=2a1，由此得到=，从而能求出的最小值【解答】解：设数列an的公差为d，an的前n项和Sn，an和都是等差数列，2=，=，解得d=2a1，=+42的最小值是21故答案为：21二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知命
15、题p：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立，命题q：函数y=loga（12x）在定义域上单调递增，若“pq”为真命题且“pq”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】根据函数的性质求出命题的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可【解答】解：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立当a=2时不等式等价为40成立，当a2时，可得，解得2a2，综上2a2即p：2a2，函数y=loga（12x）在定义域上单调递增，可得0a1，即q：0a1，若“pq”为真命题且“pq”为假命题，则p，q为一真一假，若p真q假，则即1a2或2a0，若p假q真，则
16、，此时无解，故实数a的取值范围是1a2或2a016已知aR，函数f（x）=x22ax+5（1）若不等式f（x）0对任意x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a1，且函数f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数a的值【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题【分析】（1）结合根与系数得关系对进行分情况讨论，列出不都是解出；（2）判断出f（x）的单调性，利用单调性列方程解出【解答】解：（1）若=4a2200，即a时，f（x）0恒成立，符合题意，若=4a220=0，即a=时，f（x）=0的解为x=a，不等式f（x）0对任意x（0，+）恒成立，a=如=4a2200，即a或a时，设f（x）=0的两
17、根为x1，x2，则x1x2=50，f（x）0对任意x（0，+）恒成立，f（x）=0有两个负根，x1+x2=2a0，a综上，实数a的取值范围是（，）（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a，f（x）在1，a上单调递减，f（1）=a，即62a=a，解得a=217设等差数列an的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m3，mN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【考点】等差数列的性质【分析】（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简
18、a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式an代入得到数列bn的通项公式，因为b1，b2，bm成等差数列，所以2b2=b1+bm，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d由已知得即解得故an=2n1，Sn=n2（2）由（1）知要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm，即，移项得： =，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4故存在正整数t，使得b1，b2，bm
19、成等差数列18如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设AD=x（x0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明【考点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形的实际应用【分析】（1）先根据SADE=SABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DEBC，且DE=进而可得函数f（x）的解
20、析式，根据其单调性求得函数的最大值【解答】解（1）在ADE中，y2=x2+AE22xAEcos60y2=x2+AE2xAE，又SADE=SABC=xAEsin60xAE=2代入得y2=x2+2（y0），y=（1x2）；（2）如果DE是水管y=，当且仅当x2=，即x=时“=”成立，故DEBC，且DE=如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，可知函数在1，上递减，在，2上递增，故f（x）max=f（1）=f（2）=5ymax=即DE为AB中线或AC中线时，DE最长19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是
21、椭圆的左右顶点，动点M满足=0，且MA交椭圆于点P求的值；设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由已知可得关于a，c的方程组，求解方程组得到a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由数量积为0可得MBAB，可设M（2，t），P（x0，y0）得到MA所在直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出P的坐标，代入数量积可得的值；由求出PB所在直线的斜率，得到MO的斜率，写出MO所在直线方程，由直线系方程可得直线MQ过定点【解答】（1）解：由已知可得，解得b2=a2c2=2，则椭圆方程为；（2）解：
22、由=0，得MBAB，可设M（2，t），P（x0，y0）直线MA：，代入，得由，得，从而，=；证明：依题意，由MQPB，得，则MQ的方程为：yt=（x2），即y=，直线MQ过原点O（0，0）20若数列an是首项为612t，公差为6的等差数列；数列bn的前n项和为Sn=3nt，其中t为实常数（）求数列an和bn的通项公式；（）若数列bn是等比数列，试证明：对于任意的n（nN*），均存在正整数Cn，使得bn+1=a，并求数列cn的前n项和Tn；（）设数列dn满足dn=anbn，若dn中不存在这样的项dk，使得“dkdk1”与“dkdk+1”同时成立（其中k2，kN*），求实数t的取值范围【考点】数列
23、的求和；数列递推式【分析】（1）直接由等差数列的通项公式求得数列an的通项，由bn的前n项和为Sn=3nt，得到当n2时，再求出首项，可得数列bn的通项公式；（2）由数列bn是等比数列求得t=1，代入数列an的通项公式，再由，可得，利用数列的分组求和可得数列cn的前n项和Tn=2n+；（3）由题意得，进一步得到当n2时， =，然后分2t2，22t，m（mN，m2）结合已知条件列式求得t的取值范围【解答】（1）解：数列an是等差数列，且a1=612t，d=6，an=（612t）+6（n1）=6n12t，而数列bn的前n项和为Sn=3nt，当n2时，又b1=S1=3t，；（2）证明：数列bn是等比
24、数列，3t=2311=2，即t=1an=6n12对于任意的n（nN*），由于，令，则，命题成立数列cn的前n项和Tn=2n+；（3）由题意得，由于当n2时， =，若2t2，即，则dn+1dn，当n2时，dn是递增数列，故由题意得：d1d2，即6（3t）（12t）36（22t），解得： ；若22t，即，则当n3时，dn是递增数列，故由题意得：d2=d3，即4（2t2）32=4（2t3）33，解得t=；若m（mN，m2），即（mN，m2），则当2nm时，dn是递减数列，当nm+1时，dn是递增数列，则由题意得：dm=dm+1，即4（2tm）3m=4（2tm1）3m+1，解得t=综上所述，t的取值范围是或t=（mN，m2）2017年1月15日
