1、函数的极值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1设函数f(x)(x1)ex1，则()Ax2为f(x)的极大值点Bx2为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点【解析】选D.函数f(x)(x1)ex1，所以f(x)(x2)ex，令(x2)ex0，可得x2，当x2时，f(x)2时，f(x)0，函数单调递增，所以x2是函数的极小值点2.已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数yf(x)的图象如图，则下列结论正确的是()Aa，c分别是极大值点和极小值点Bb，c分别是极大值点和极小值点Cf(x)在区间(a，c)上单调递增Df(x)在区间(b，c)上
2、单调递减【解析】选C.由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间(a，)上单调递增3函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值【解析】选C.由y3x26x90，得x1或x3.当x3时，y0；当1x3时，y2或x0，f(x)是增函数，当0x2时，f(x)0，f(x)是减函数，所以f(x)的极小值为f(2)e2，没有极大值6若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx在x1处有极值，则的最小值为()A B C D【解析】选C.因为函数f(x)4x3ax22bx在x1处有极值，
3、所以f(1)122a2b0，即ab6，则(ab)(当且仅当且ab6，即a2b4时取“”).二、填空题(每小题5分，共10分)7函数f(x)x3x4在区间上的极值点为_【解析】因为f(x)x3x4，所以f(x)x2x3x2(x1)，令f(x)0，则x0或x1，因为x，所以x1，并且在x1左侧f(x)0，右侧f(x)0，所以函数f(x)x3x4在区间，3上的极值点为1.答案：1【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根，但须注意导数等于0的根不一定都是极值点，应根据导数图象分析再下结论是不是其极值点8若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_.【解析】y3x212x3x(x4).由y0，
4、得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0.所以x4时函数取到极大值故6496m13，解得m19.答案：19三、解答题(每小题10分，共20分)9已知函数yx33ax23bxc在x2处有极值，且其图象在x1处的切线与直线6x2y50平行(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差【解析】y3x26ax3b，因为x2是函数的极值点，所以1212a3b0，即44ab0.又图象在x1处的切线与直线6x2y50平行，所以y|x136a3b3，即2ab20.由解得a1，b0.此时，y3x26x3x(x2).(1)令y0，得x(x2)0，所以x0或x2；令y0，得x(x2)0，所以0x2.所以函
5、数在(0，2)上是减函数，在(，0)，(2，)上是增函数(2)由(1)可以断定，x0是极大值点，x2是极小值点，又yf(x)x33x2c，所以y极大值y极小值f(0)f(2)c(812c)4.10设f(x)x ln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围【解析】(1)g(x)f(x)ln x2ax2a，所以g(x)2a.当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0时，函数g(x)单调递增区间为，函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知
6、f(1)0.当a0，f(x)单调递增，所以x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a1时，由(1)知f(x)在内单调递增，所以x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a，1时，f(x)在内单调递增，在(1，)内单调递减，所以x时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a，00，f(x)单调递增，当x时，f(x).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1设函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 015)，则函数f(x)的各极大值之和为()A BC D【解析】选D.由题意，得f(x)(ex)(s
7、in xcos x)ex(sin xcos x)2ex sin x，所以x(2k，2k)时，f(x)递增，x(2k，2k2)时，f(x)递减，故当x2k时，f(x)取极大值，其极大值为f(2k)e2ksin (2k)cos (2k)e2k，又0x2 015，所以函数f(x)的各极大值之和为See3e5e2 015.2已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为()A15 B16 C17 D18【解析】选D.因为x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，所以f(2)123a0，解得a4，所以函数f(x)的解析式为f(x)x312x2，f(x)3x212，由f(x)0，
8、得x2，故函数f(x)在(2，2)上是减少的，在(，2)，(2，)上是增加的，由此可知当x2时，函数f(x)取得极大值f(2)18.3已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18【解析】选C.因为函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，所以f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，所以解得或而当时，f(x)3(x1)2，所以函数在x1处无极值，故舍去所以f(x)x34x211x16，所以f(2)18.4已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则()Aa1Ca【解析】选A.因为yexax.所以y
9、exa.令y0，即exa0，则exa，即xln (a)，又因为x0，所以a1，即a0，在(1，5)上f(x)0且a1，解得a3.答案：(，1)(3，)三、解答题(每小题10分，共30分)9已知函数f(x)x3bx22cx的导函数的图象关于直线x2对称(1)求b的值；(2)若函数f(x)无极值，求c的取值范围【解析】(1)f(x)3x22bx2c，因为函数f(x)的图象关于直线x2对称，所以2，即b6.(2)由(1)知，f(x)x36x22cx，f(x)3x212x2c3(x2)22c12，当2c120，即c6时，f(x)0恒成立，此时函数f(x)无极值10已知函数f(x)ax3bx2(2b)x
10、1在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0x11x20；(2)求za2b的取值范围【解析】(1)由函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，知x1，x2是f(x)0的两个根由题意，得f(x)ax22bx2b，所以f(x)a(xx1)(xx2).由题意，知在xx1的左侧有f(x)0.又因为xx10，xx20.(2)由题意，得0x11x22等价于：即整理，得此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线2b0，a3b20，4a5b20所围成的ABC的内部，如图所示ABC的三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).za2b在这三点的值依次为，6，8，所以za2b的取值范围是.1
11、1已知函数f(x)(c0且c1，kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc.(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围【解析】(1)f(x)，由题意知f(c)0，即得c2k2cck0，(*)因为c0，所以k0.由f(x)0得kx22xck0，由根与系数的关系知另一个极值点为x1(或xc).(2)由(*)式得k，即c1.当c1时，k0；当0c1时，k2.(i)当k0时，f(x)在(，c)和(1，)内是减函数，在(c，1)内是增函数所以Mf(1)0，mf(c)0，由Mm1及k0，解得k.(ii)当k2时，f(x)在(，c)和(1，)内是增函数，在(c，1)内是减函数所以Mf(c)0，mf(1)0，Mm11恒成立综上可知，所求k的取值范围为(，2)，).
