1、2023 年湖北省高二 11 月期中考试数学试卷答案（共 6 页）第 1 页2023 年湖北省高二 11 月期中考试高二数学参考答案及评分标准一、单选题：二、多选题：123456789101112DDCDDAADBDBCDACDBCD部分题目详解：7.解：由圆：2+2 2=0，可知(1,0)，圆的半径为 1，依圆的知识可知，四点，四点共圆，且 ，所以|=4=4 12|=2|，而|=|2 1，当直线 时，|最小，此时|最小，直线的方程为 0=(1)，即=1，联立 =1+1=0，解得(0,1)所以以点和点为直径的圆的方程为2+2 +=0，又圆：2+2 2=0，两圆的方程相减可得：+=0，即直线的方
2、程为+=0故选 A8.解：对于中，由1=1=13 2 12 22 2=43，1为等边三角形，面积为1=12 22 6=23，设点到面1的距离为，由13 23 =43，求得=233，所以不正确；对于中，过点平行于平面1的平面被正方体截得的多边形平面11，此时三角形11为边长为 22的等边三角形，其面积为12 22 6=23，所以不正确；对于中，由正方体的结构特征和性质，可得点到平面1的距离为233，当点在线段11上运动时，1 max=2(为端点时)，1 min=2，设直线1与平面1所成角为，则 sin 33,63，所以 D 正确；对于中，当点为11中点时，易知1 ,1 即1 平面，三棱锥 1的外
3、接球球心在垂直于平面，且过三角形的中心的直线上，由于=6，=2，三角形的中#QQABRQiEogAgQAAAARgCEwUiCgIQkACAAAoGRAAAoAAAABFABCA=#2023 年湖北省高二 11 月期中考试数学试卷答案（共 6 页）第 2 页心到的距离为32，由2=(22)2+(32)2可得外接球半径为=112,所以三棱锥 1的外接球的体积为11116，所以不正确故选：12.解：设椭圆的右焦点，由椭圆对称性知线段，互相平分于点，则四边形为平行四边形，则|+|=|+|=4，有1+4=14(|+|)(1+4)=14(5+|+4|)14(5+2|4|)=94，当且仅当|=4|，即|=
4、2|=83时取“=”，不正确；设(0,0)，00 0，则 1=024+022 2024 022=|0|0|2，当且仅当024=022，即|0|=2|0|=2时取“=”，即|0|0|2，因 轴，垂足为，则=2=|0|0|2，B 正确；因(0,0)，有00=，由椭圆对称性可得(0,0)，而(0,0)，则直线的斜率=020=12，C正确；设(,)，由024+022=1 及24+22=1 得，2024+2022=0，即202202=12，直线，的斜率,有 =00+0+0=202202=12，而=12，于是得=1，有 =1=1，所以为直角，D 正确故选：三、填空题：13.17.514.815.3616.
5、23部分题目详解：16.解：椭圆的焦点为1,0,2,0,12=2，在 12中，由正弦定理得：2=12sin12=2sin3=433，解得=233，=14 =36，设 1=,2=，在 12中，由余弦定理得：42=2+2 2cos3=+2 3，解得=4 223，所以12=12 sin3=3 223，又12=12 +2 =3+6，所以3 223=3+6，整理得 22 32 =0，即 32+2=0，解得=23或=1(舍去)故答案为：23#QQABRQiEogAgQAAAARgCEwUiCgIQkACAAAoGRAAAoAAAABFABCA=#2023 年湖北省高二 11 月期中考试数学试卷答案（共 6
6、 页）第 6 页四、解答题：17.解：(1)由频率分布直方图得50,60)的频率为 0.016 10=0.16，1 分得分在50,60)，90,100的频数分别为 8，2 =80.01610=50，2 分，=210=2500=0.004，3 分 =1 (0.016+0.04+0.01+0.004)10 10=0.035 分(2)估计本次竞赛学生成绩的众数为：70+802=75，6 分 50,70)的频率为：(0.016+0.03)10=0.46，70,80)的频率为：0.04 10=0.4，中位数为：70+0.50.460.4 10=71，8 分平均数为：55 0.16+65 0.3+75 0
7、.4+85 0.1+95 0.04=70.610 分18.解：(1)由已知=180 120 45=15，所以=45 15=30，在 中，=180 120 30=30，故=2，所以 的面积=12 =12 2 2 32=3；6 分(2)在 中，由正弦定理 15=45 =21545()而 sin15=sin 45 30=22 32 22 12=624，45=22 代入()式得=3 112 分19.解：以为坐标原点，射线，S 分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设=2(1)证明：解法一：连接交于，连接.由题意，得在SAC 中，EO/SA.而 平面，平面所以/平面6 分解法二：连接交于，连接依题
8、意得(2,0,0)，(0,0,2)，(0,1,1)因为底面是正方形，所以是此正方形的中心，故点的坐标为 1,1,0，所以=(2,0,2)，=(1,0,1)则=2，故/而 平面，平面，所以/平面6 分#QQABRQiEogAgQAAAARgCEwUiCgIQkACAAAoGRAAAoAAAABFABCA=#2023 年湖北省高二 11 月期中考试数学试卷答案（共 6 页）第 6 页(2)解：因为:=2:1，得 0,43,23，=0,43,23，=(2,2,0)设平面的法向量为=(,)，故 =0 =0,43 +23 =02+2=0，令=1，则=1，=2，故=(1,1,2)，8 分设=2,2,2，9
9、 分又因为=+=(2+2,2,2 2)，/平面，所以 =0,即 2 2+2+4+0=0，解得=12，11 分所以点为棱的中点时，/平面12 分20.解：(1)设,，则+2 2+2=2 1 2+2，化简得：2 4+2=0，故点的轨迹方程为2 4+2=0；3 分(2)设,，因为点为的中点，所以点的坐标为 2+2,2，将 2+2,2 代入2 4+2=0 中，得到2+2=1，所以点的轨迹方程为2+2=1；7 分(3)因为点,在(1)的轨迹上运动，所以2 4+2=0，变形为 2 2+2=4，即点,为圆心为 2,0，半径为 2 的圆上的点，则=+46表示的几何意义为圆上一点与 6,4 连线的斜率，如图：当
10、过 6,4 的直线与圆相切时，取得最值，设+4=6，则由点到直线距离公式可得：4+41+2=2，解得：=4+73或=473故=+46的取值范围是 473,4+7312 分21.解：()在中，2+2=32+22=(13)2=2.所以=90，即 .又因为 ，在平面中，=，#QQABRQiEogAgQAAAARgCEwUiCgIQkACAAAoGRAAAoAAAABFABCA=#2023 年湖北省高二 11 月期中考试数学试卷答案（共 6 页）第 6 页所以 平面3 分()因为平面 平面，平面 平面=，平面，所以 平面所以 ()已证 ，且已知 ，故以为原点，建立如图空间直角坐标系，则(2,0,0)，
11、(0,0,3)，(3,2,0)所以=(0,0,3)，=(2,0,0)，=(3,2,0)，=(3,2,3)因为为中点，所以=12(+)=(1,0,32)由=3知，=+=+13 =(3,2,0)+(1,23,1)=(2,43,1)设平面的法向量为=(,)，则 =0,=0,即+32 =02+43 +=0令=2，则=3，=3于是=(3,3,2).5 分又因为由()已证 平面所以平面的法向量为=(0,2,0)所以 cos=|=3229+9+4=32222，由题知，二面角 为锐角，所以其余弦值为322227 分()设是线段上一点，则存在 0,1使得=因为=(3,2,0)，=(2,0,0)，所以=+=+=(
12、3 2,2,0).9 分因为 平面，所以/平面当且仅当 =0，即(3 2,2,0)(3,3,2)=0.即(3 2)(3)+2 3+0 2=0.解得=2.11 分因为=2 0,1，所以线段上不存在使得/平面12 分#QQABRQiEogAgQAAAARgCEwUiCgIQkACAAAoGRAAAoAAAABFABCA=#2023 年湖北省高二 11 月期中考试数学试卷答案（共 6 页）第 6 页22.解：(1)因为椭圆:22+22=1 0 过点3,12,0,，且的斜率为32，所以32+142=112+3=32，解得 =2，=1，以椭圆的方程为24+2=1；5 分(2)证明：由题意知，直线的斜率存
13、在，设直线：=+4，设 1,1，2,2，由24+2=1=+4，得1+42 2+32+60=0，=32 2 4 1+42 60=16 42 15 0，得 152，则1+2=321+42，12=601+42，7 分因为 0,1，直线的方程为=1+11 1，令=0，解得 =11+1，则11+1,0，同理可得22+1,0，8 分所以|=|11+1|22+1|=|12(1+5)(2+5)|=|12212+5(1+2)+25|=601+422601+42+5 321+42+25=6025=125 为定值，11 分所以 为定值，该定值为125 12 分#QQABRQiEogAgQAAAARgCEwUiCgIQkACAAAoGRAAAoAAAABFABCA=#
