1、3.1数系的扩充学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x22在有理数范围内无解的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，则方程x210有解，同时得到一些新数梳理(1)虚数单位i引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：i21.实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立(2)复数的概念形如abi(a，b
2、R)的数叫做复数全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(3)复数的代数形式复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部知识点二复数的分类1复数(abi，a，bR)2集合表示：知识点三两个复数相等的充要条件思考1由42能否推出4i2i?答案不能当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小思考2两个复数能不能判断相等或不等呢？答案能梳理在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.1复数z3i，则它的实部是3，虚部是.()2实部为零的复数一定是纯虚数
3、()3若复数zmni，则m，n一定是复数z的实部和虚部()4若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()类型一复数的概念例1(1)给出下列命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集其中真命题的序号为_(2)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_答案(1)(2)，5解析(1)令ziC，则i211，则实数x的值是_答案2解析由题意知即得x2.1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两
4、个复数相等的充要条件进行判断.一、填空题1设a，bR，“a0”是“复数abi是纯虚数”的_条件答案必要不充分解析因为a，bR，当“a0”时“复数abi不一定是纯虚数，也可能b0，即abi0R”而当“复数abi是纯虚数”，则“a0”一定成立所以a，bR，“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要不充分条件2若实数x，y满足(1i)x(1i)y2，则xy_.答案1解析因为实数x，y满足(1i)x(1i)y2，所以xy(xy)i2，可得所以xy1，所以xy1.3以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是_答案22i解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知复数2i的虚部为2，复数i2i2i
5、2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.4若(xy)ix1(x，yR)，则2xy_.答案1解析由复数相等的充要条件知，xy0，2xy201.5若复数z1sin 2icos ，z2cos isin ，z1z2，则_.答案2k，kZ解析由复数相等的定义，可知所以cos ，sin .所以2k，kZ.6已知集合M1，(m23m1)(m25m6)i，N1,3，MN1,3，则实数m_.答案1解析根据题意知，MN1,3，故3M，而M1，(m23m1)(m25m6)i，则有(m23m1)(m25m6)i3，即m23m13且m25m60，解得m1.7设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m
6、_.答案2解析m2.8z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i，则m1是z1z2的_条件答案充分不必要解析当z1z2时，必有m2m13，m2m42，解得m2或m1，显然m1是z1z2的充分不必要条件9若复数zm2m2(m2m2)i为实数，则实数m_.答案2或1解析复数zm2m2(m2m2)i为实数，m2m20，解得m2或1.10复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析若复数z(a22a3)(|a2|1)i是纯虚数，则a22a30，|a2|10，解得a1，当a1时，复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数故答案为(，1)(1，)
7、11下列命题中，假命题的序号为_若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则aibi；引进虚数单位i后任何负数都可以开平方了答案解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以是假命题；由于两个虚数不能比较大小，所以是假命题；引进虚数单位i的主要目的就是能使负数也能开平方，故是真命题二、解答题12已知复数za21(a23a2)i，aR.(1)当z是纯虚数时，求实数a的值；(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，求实数a的取值范围解复数za21(a23a2)i，aR.(1)当z是纯虚数时，可得a210，a23a20，解得a1.(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得a21a23a20，解得a1或az2的m值的集合是什么？使z1z2时，m值的集合为空集；当z1z2时，m值的集合为0
