1、第10课时 异面直线（一）教学目标：会用图形表示两条直线异面，理解并掌握异面直线所成角的定义，熟记异面直线所成角的范围；会用平移转换法求异面直线所成的角，理解异面直线公垂线的定义，掌握异面直线间距离的概念；会求已给出公垂线的两异面直线间的距离；培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；通过本节内容的学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 教学重点：异面直线所成角的定义、范围、计算，异面直线间距离的定义与计算. 教学难点：异面直线所成角的计算，异面直线间距离的计算. 教
2、学过程：.课题导入师前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容，今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题).讲授新课师前面我们学习空间两条直线的位置关系时，讨论了异面直线，并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时，怎样显示它们不共面的特点呢？常用的方法有下列几种：这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意：这样表示a、b异面正确吗？生不正确.直观上看a，b，似乎分别在不同的平面内，但从图形上可看出，
3、a、b有与两平面、的交线都平行的可能，这样a与b就平行，它们完全有可能在新的平面内，所以这样画容易给人造成误解.师好！画异面直线时，一定要把其特征清楚地显现出来，不能使人产生歧义.师如图(1)，直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a，b，使aa、bb(边记边作)，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.据此，我们给出异面直线所成角的定义(板书).定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.师由于点O是任意的，大家说这样作出的角有多少个？生无数个.师这无数个锐角(或直角)的大小有什么关系？(学生中没有人
4、马上回答，似乎还存在着什么困惑)师把我们得到角的方法，用我们前面学过的知识分析一下.(生恍然大悟，不是不会答大小有什么关系，而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系).生这无数个锐角(或直角)相等.师为什么？生这无数个锐角(或直角)中，每个角的两边都分别平行于a、b，据平行公理，这无数个锐角(或直角)每个角的两边都分别平行，依据等角定理的推论，这无数个锐角(或直角)相等.师很好！通过上面的讨论，再认真分析定义，我们可以得出如下的结论：两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；两条异面直线所成的角(0，；因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成
5、的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；找两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作ab;以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.(上面每一条都要摘要作出板书)师为了加深对这一概念的理解与认识，请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.生课本图中的六角螺母的棱AB和CD所在的直线成的角，或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角，都
6、是异面直线所成的角.生教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角.生正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.师好.同学们再来考虑这样的问题：空间三条直线a、b、c，若ac、bc，则a、b是怎样的位置关系.生a、b平行.师还有吗？请同学拿出竹签，每两人一组，对照正方体模型实际摆一摆.(同学动手摆弄，讨论)生a、b可能相交，a、b也可能异面.师好！在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.在空间，垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线.当a、b异面时，同学们再摆摆看，与a、b都垂直的直线有几条？与a、b都相交的直
7、线有几条？与a、b既垂直又相交的直线有几条？(生摆弄以后回答)生与a、b都垂直的直线有无数条，与a、b都相交的直线也有无数条，与a、b既垂直又相交的直线有且只有一条.师好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书)注意：从定义可看出，两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交，“垂直”“相交”两条缺一不可(板书).与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线，与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线，对于两条异面直线，它们的公垂线有且只有一条.师两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做两条异面直线的距离.(板书).对于确定的两条异面直线
8、，它们所成的角是确定的，它们的公垂线是确定的，它们的距离也是完全确定的.师下面我们来看个例子设图中正方体的棱长为a. (1)求直线BA和CC所成角的大小；(2)求异面直线BC和AA的距离. 注意：求异面直线所成角的大小，关键是选择恰当的点，通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，成为平面问题去求解；求两异面直线的距离，就是求两异面直线的公垂线段的长.分析：因为BBCC，所以ABB就是异面直线BA与CC所成的角，因为AA与AB垂直相交，BC与AB也垂直相交，所以AB是异面直线AA和BC的公垂线，AB的长就是异面直线AA与BC的距离.解：(1)CCBBBB和BA所成的锐角，即ABB就是
9、异面直线BA和CC所成的角(解题过程中，这句表述不能少).ABB45，BA与CC所成的角是45.(2)BC和AA的距离是a.课堂练习课本P28练习1，2，3，4.课时小结本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围，两异面直线的公垂线的定义，两异面直线间的距离.概念比较多，同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会，认真掌握，两异面直线所成的角，两异面直线间的距离，这两部分内容，在空间图形中的位置是相当重要的，在高考中也是经常涉及到的，同学们一定要予以高度重视，对于角与距离的求法，要多练习，才能掌握好，相信我们每个同学都会学得很好.课后作业课本P28习题 5，8，9.思考与练习一、选择题1.下列
10、命题中，正确的是( )A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案：C2.已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：B3.直线a、b相交于点O，且a、b成60角，过点O与a、b都成60角的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：C4.异面直线a、b所成的角为80，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60的直线有( )A.1条 B.2
11、条 C.3条 D.4条答案：D5.若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，dc，则d和a、b的公共点的个数是( )A.1 B.最多为1C.2 D.1或2答案：B6.已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是( )A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案：C7.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法正确的是( )A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a答案：D二、填空题1.在正方体ABCD
12、A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_条.答案：62.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则(1)MN与PQ的位置关系是_，它们所成的角是_.(2)MN与B1D的位置关系是_，它们所成的角是_.(3)异面直线MN与B1D1间的距离为_.答案：(1)相交 60 (2)异面 90 (3)a3.在空间四边形ABCD中，对角线ACBD2a，M、N分别是边AB、CD的中点，若MNa，则AC和BD所成的角为_，MN和AC所成的角为_. 答案： 90 454.在长方体ABCDA1B1C1D1中，M是DC的中点，ADAA1，AB2，那么(1)AA1与BC1所成角的度数是_；(2)DA1与BC1所成角的度数是_；(3)BC1与D1M所成角的余弦是_. 答案：(1)45 (2)90 (3) 5.在空间四边形ABCD中，对角线ACBD，若AC6，BD4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN_，MN与BD所成角的正切值为_.答案： 6.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_.答案： 7.如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点且，若BD6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为_.答案： 8 cm- 5 -
