1、复习课(四)函数的应用函数的零点问题1题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间2函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点典题示例函数f(x)的零点个数为_解析令f(x)0，得到解得x1；或在同一个直角坐标系中画出y2x和yln x的图象，观察交点个数，如图所示函数y2x和yln x，x0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f(x)在x0时的零点有一个，在x0时零点有一个，所以f(x)的零点个数为2.答案2类题通法确定函数零点个数的方法(1)解方程f(x)0有几个根(2)利用图象找yf(x)的图象与x轴的交点
2、或转化成两个函数图象的交点个数(3)利用f(a)f(b)与0的关系进行判断1函数f(x)lg x的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8)C(8,9) D(9,10)解析：选Df(6)lg 6lg 60，f(7)lg 70，f(8)lg 80，f(9)lg 910，f(10)lg 100，f (9) f (10)0.f(x)lg x的零点的大致区间为(9,10)2已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选Cf(x)ln xx2在(0，)是增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，f(
3、3)ln 310，x0(2,3)3函数y|x|m有两个零点，则m的取值范围是_解析：在同一直角坐标系内，画出y1|x|和y2m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0m1.函数的应用答案：(0,1) 1通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力2函数实际应用的示意图典题示例某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p(件)与销售价格x(元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元(1)写出周销售量p(件)与销售价格x(元)的函数关系式；
4、(2)写出利润周利润y(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润解(1)由题设知，当12x20时，设paxb，则a2，b50.p2x50，同理得，当20x28时，px30，所以p(2)当12x20时，y(x12)(2x50)202x274x620；当20x28时，y(x12)(x30)20x242x380.y(3)当12x20时，y2x274x620，x时，y取得最大值.当20x28时，yx242x380，x21时，y取得最大值61.61，该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.类题通法建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1
5、)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解1.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速率越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的是序号是_解析：由t0,3的图象联想到幂函数yx(01)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢由t3,8的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以正确答案：2将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩
6、余的水量符合指数衰减曲线yaent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为()A7 B8C9 D10解析：选D令aaent，即ent，由已知得e5n，故e15n，比较知t15，m15510.3某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：年固定成本(万美元)每件产品成本(万美元)每件产品销售价(万美元)每年最多可生产件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3a8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两
7、种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(xN)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润解：(1)由题知y110x(20ax)(10a)x20,0x200且xN；y218x(408x)0.05x20.05x210x400.05(x100)2460,0x120且xN.(2)3a8，10a0，y1(10a)x20为增函数又0x200，xN，x200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10a)200201 980200a(万美元)又y20.05(x100)2460,0x120，xN，x100时y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元1已知函数f(x)则
8、该函数的零点的个数为()A1B2C3 D4解析：选C当x0时，令x(x4)0，解得x4；当x0时，令x(x4)0，解得x0或4.综上，该函数的零点有3个2函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(0,1)C(2，e) D(3,4)解析：选Af(1)ln 22lnln 10，f(2)ln 31lnln 10，所以函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是(1,2)3某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118元 B105元C106元 D108元解析：选D设该家具的进货价是x元，由题意得132(
9、110%)xx10%，解得x108元4下列函数：ylg x；y2x；yx2；y|x|1，其中有2个零点的函数是()A BC D解析：选D分别作出这四个函数的图象，其中y|x|1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，选D.5已知函数f(x)在区间a，b上是单调函数，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b内()A至少有一实根 B至多有一实根C没有实根 D必有唯一实根解析：选B由于f(a)f(b)0，则f(a)0f(b)或f(b)0f(a)，又函数f(x)在区间a，b上是单调函数，则至多有一个实数x0a，b，使f(x0)0，即方程f(x)0在区间a，b内至多有一实根6已知0a1，则方程a
10、|x|logax|的实根个数为()A2 B3C4 D与a的值有关解析：选A设y1a|x|，y2|logax|，分别作出它们的图象如图所示由图可知，有两个交点，故方程a|x|logax|有两个根故选A.7长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为_解析：由题意，S(4x)，即Sx2x12，当x1时，S最大答案：18某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为_解析：设按出厂价y元购买x(x50
11、)套应付a元，则axy.再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元，则a(x11)(y30)，其中x1150.xy(x11)(y30)(39x50)xy30.又xN，yN(因价格为整数)，39x50，x44，y150，a441506 600.答案：6 6009若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，如下图，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.答案：(1，)10某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每
12、件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件(1)请写出规定时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域；(2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润解：(1)由题意知，生产第x个档次的产品每件的利润为82(x1)元，该档次的产量为603(x1)件则规定时间内第x档次的总利润y(2x6)(633x)6x2108x378，其中xxN*|1x10(2)y6x2108x3786(x9)2864，则当x9时，y有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元11A、
13、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月(1)求x的范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小解：(1)x的取值范围为10,90(2)y0.2520x20.2510(100x)25x2(100x)2(10x90)(3)由y5x2(100x)2x2500x25 0002.则当x km时，y最小故当核电站建在距A城 km时，才能使供电费用最小12为了
14、保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S元，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为400x600，所以当x400时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需
15、要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,3,4，则下列结论中正确的是()AABBAB2CAB1,2,3,4,5 DA(UB)1解析：选DA显然错误；AB2,3，B错；AB1,2,3,4，C错，故选D.2设f(x)则f(f(2)()A0 B1C2 D3解析：选Cf(2)log3(221)1.f(f(2)f(1)2e112.3函数ylog2|1x|的图像是()解析：选D函数ylog2|1x|可由下列变换得到：ylog2xy
16、log2|x|ylog2|x1|ylog2|1x|.故选D.4函数f(x)lg x的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,10)C(10,100) D(100，)解析：选Bf(1)10，f(10)10，f(100)20，f(1)f(10)0，由函数零点存在性定理知，函数f(x)lg x的零点所在的区间为(1,10)5如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的()解析：选B开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢故选B.6已知函数f(x)，则有()Af(x)是
17、奇函数，且ff(x)Bf(x)是奇函数，且ff(x)Cf(x)是偶函数，且ff(x)Df(x)是偶函数，且ff(x)解析：选Cf(x)f(x)，f(x)是偶函数，排除A、B.又ff(x)，故选C.7已知函数f(x)mlog2x2的定义域是1,2，且f(x)4，则实数m的取值范围是()A(，2 B(，2)C2，) D(2，)解析：选A因为f(x)m2log2x在1,2是增函数，且由f(x)4，得f(2)m24，得m2.8已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)解析：选C作出f(x)的大
18、致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.于是lg alg b0.故ab1.因而abcc.由图知10c0时，f(x)lg(x1)，则当x0时，f(x)_.解析：由奇函数的定义区间关于原点对称可知m4m50，解得m1；当x0，此时f(x)lg(x1)f(x)，故f(x)lg(1x)，即当x的解集为_解析：fln等价于或解得ln 2，故f(x)的解集为x|ln 2答案：x|ln 213已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_，f_.解析：01，f(0)2012.21，f(2)42a，f(f(0)f(2)42a4a，a2.ff1.答案：2114(山东高
19、考)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_解析：作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则4mm2m，即m23m0.又m0，解得m3.答案：(3，)15已知函数f(x)lg(2xb)(b为常数)，若x1，)时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是_解析：要使f(x)lg(2xb)在x1，)上，恒有f(x)0，有2xb1在x1，)上恒成立，即2xb1恒成立又指数函数g(x)2x在定义域上是增函数只要2b1成立即可，解得b1.答案：(，1三、解答题(本大题共5小题，共74分解
20、答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知集合Ax|22x8，Bx|axa3(1)当a2时，求AB；(2)若BRA，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，Ax|22x8(1,3)，Bx|axa32,5，故AB2,3)(2)RA(，13，)故由BRA知，a31或a3，故实数a的取值范围为(，23，)17(本小题满分15分)已知f(x)logax(a0且a1)的图象过点(4,2)(1)求a的值；(2)若g(x)f(1x)f(1x)，求g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间解：(1)由已知f(x)logax(a0且a1)的图象过点(4
21、,2)，则2loga4，即a24，又a0且a1，所以a2.(2)g(x)f(1x)f(1x)log2(1x)log2(1x)由得1x1，定义域为(1,1)(3)g(x)log2(1x)log2(1x)log2(1x2)，其单调减区间为0,1)18(本小题满分15分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示(1)试求y关于x的函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？解：(1)设日均销售y与销售单价x(元)的函数关系为：ykxb(k
22、0)，把(3,600)，(5,500)代入上式，得解得k50，b750，日均销售量y与销售单价x(元)的函数关系为y50x750,3x12.(2)设销售单价为x元，日均获利W元，根据题意得，W(x3)(50x750)30050(x9)21 500，a500，且3912，当x9时，W有最大值，最大值为1 500元19(本小题满分15分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x1.(1)求f(3)f(1)；(2)求f(x)的解析式；(3)若xA，f(x)7,3，求区间A.解：(1)f(x)是奇函数，f(3)f(1)f(3)f(1)231216.(2)设x0，则x0，f(x)2x1，
23、f(x)为奇函数，f(x)f(x)2x1，f(x)(3)作出函数f(x)的图象，如图所示根据函数图象可得f(x)在R上单调递增，当x0时，72x10，解得3x0；当x0时，02x13，解得0x2；区间A为3,220(本小题满分15分)对于函数f(x)a(aR，b0，且b1)(1)探索函数yf(x)的单调性；(2)求实数a的值，使函数yf(x)为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b2，求使f(x)m(x0,1)有解的实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为R，设x1x2，则f(x1)f(x2).当b1时，由x1x2，得bx1bx2，从而bx1bx20，于是f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在R上是单调增函数；当0b1时，由x1x2，得bx1bx2，从而bx1bx20，于是f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在R上是单调减函数(2)函数f(x)的定义域为R，由f(0)0得a1.当a1时，f(x)1，f(x)1.满足条件f(x)f(x)，故a1时，函数f(x)为奇函数(3)f(x)1，x0,1，2x1,2，2x12,3，f(x)，要使f(x)m(x0,1)有解，则0m，即实数m的取值范围为.
