1、第六节 双曲线教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以选择、填空题为主，难度为中低档解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.基础梳理1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离(|F1F2|2c0)为非零常数2a(2a0，c0.当时，M点的轨迹是双曲线；当时，M点的轨迹是两条射线；当时，M点不存在2a|F1F2|2双曲线的标准方
2、程与几何性质图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)三基自测1(选修21习题2.3A组改编)双曲线x23y221的焦距为()A3 2 B 5C2 5D4 5答案：C2(选修21习题2.3A组改编)x22m y2m1 1表示双曲线，则m的取值范围为答案：(，2)(1，)3(选修21习题2.3A组改编)双曲线 x216 y29 1上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是答案：(8，3 3)4(选修212.3练习改编)以椭圆 x24 y23 1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为答案：x2y231考点一|双曲线的定义及其应用(易错突破)【例1】(1)设过
3、双曲线x2y29左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点若|PQ|7，则F2PQ的周长为()A19 B26C43 D50(2)已知F1，F2为双曲线x25 y24 1的左，右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.374 B 374C.372 5D 372 5解析(1)如图，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，|QF2|QF1|2a，得|PF2|QF2|PQ|4a，F2PQ的周长为|PF2|QF2|PQ|4a|PQ|PQ|432726.(2)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需
4、求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|37，|AP|AF2|AP|AF1|2a 372 5.答案(1)B(2)C名师点拨 利用双曲线的定义解决问题时，要注意三点：1距离之差的绝对值；22a0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.x243y24 1B.x244y23 1C.x24y241D.x24y2121(3)已知双曲线x2a2y2b21与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，5)B(1，5C(5，)D 5，)(4)(
5、2018高考全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy 22 xDy 32 x解析(1)由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n2，e ca 1ba2 14 5.(4)eca 3，b2a2c2a2a2e21312，ba 2，渐近线方程为ybax，所以渐近线方程为y 2x，故选A.答案(1)A(2)D(3)C(4)A名师点拨 1.双曲线的离心率e ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形成关于e的
6、关系式，并且需注意e1.2与双曲线x2a2y2b21共渐近线的方程可设为x2a2y2b2(0)3若渐近线的方程为ybax，则可设双曲线方程为x2a2y2b2(0)4若焦点不确定时，双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)5与双曲线x2a2y2b21共焦点的双曲线方程可设为 x2a2k y2b2k1(b2k0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.x216y291B.x23y241C.x29y2161D.x24y231答案：C(2)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率e 52，点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是2 305，则该双曲线的方程为()A.x22y21B.x23y21C.x24y21D.x24y221答案：C考点三|双曲线与直线的综合问题(思维突破)【例3】(2018福州模拟)已知直线ykx1和双曲线x2y21的右支交于不同两点，则k的取值范围是解析 由直线ykx1和双曲线x2y21联立方程组，消y得(1k2)x22kx20，因为该方程有两个不相等且都大于1的根，所以 1k20，4k281k20，k1k21，1k22k21k20，解得1k0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.若F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为答案：y 2x
