1、1平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和加法满足交换律、结合律(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量注意两向量要移至共起点(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换2向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.共线向量定理是证明平
2、行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使，或对直线外任意一点O，有 (2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1，2，使a1e12e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底典例1如图，梯形ABCD中，ABCD，点M、N分别是DA、BC的中点，且k，设e1，e2，以e1、e2为基底表示向量、 对点训练 (3)确定点P在边BC上的位置 所以解得所以解得即2，P是边B
3、C上靠近C的三等分点.若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)；ab(a1b1，a2b2)；a(a1，a2)；aba1b1a2b2；aba1b1，a2b2(R)，或(b10，b20)；aba1b1a2b20；|a|；若为a与b的夹角，则cos .典例2(1)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.(2)已知向量a(1，m)，b(m，2), 若ab, 则实数m等于()A B.C或 D0(3)已知点A(1，1)、B(1，2)、C(2，1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D解析：(1)由已知，得(3，4)，
4、所以|5，因此与同方向的单位向量是.(2)ab的充要条件的坐标表示为12m20，m，选C.(3) (2，1)，(5，5)，向量(2，1)在(5，5)上的投影为|cos，|答案：(1)A(2)C(3)A对点训练2(1)若A(3，6)，B(5，2)，C(6，y)三点共线，则y()A13 B13 C9 D9(2)已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D150解析：(1) (8，8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.(2)ab10，则(cb)acabaca10，所以ca，设a与c的夹角为，则cos ，又0，180，所以120.答案
5、：(1)D(2)C1两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是ab|a|b|cos ，为a与b的夹角，数量积满足运算律：与数乘的结合律，即(a)b(ab)；交换律，即abba；分配律，即(ab)cacbc.2平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征3利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等典例3已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，bc4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角.解：c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44，|b|2.cm
6、anb，c2macnbc.16n(4)n4.在cmanb两边同乘以a，得08m4ab.在cmanb两边同乘以b，得mab12.由，得m.ab2.cos .或.对点训练3.如图，在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，则的最小值是_答案：2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在五边形ABCDE中(如图)，()解析：选B .2已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选Bab，m4，b(2，4)，2a3b2(
7、1，2)3(2，4)(4，8)3已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，若ab与a垂直，则的值是()A1 B1 C2 D2解析：选A由题意可知(ab)aa2ba0.|a|，ab14(3)(2)10，10100，1.4若|a|，|b|2，且(ab)a，则a与b的夹角是()A. B. C. D.解析：选B由于(ab)a，所以(ab)a0，即|a|2ab0，所以ab|a|22，所以 cosa，b，即a与b的夹角是.A. B C. D6已知向量满足：|a|2，|b|3，|ab|4，则|ab|()A. B. C. D.解析：选C由题意|ab|2a2b22ab16，ab.|ab|2a2b22ab10，|a
8、b|.A内心 B外心 C垂心 D重心P是ABC的垂心8平面向量a(x，3)，b(2，1)，c(1，y)，若a(bc)，b(ac)，则b与c的夹角为()A0 B. C. D.解析：选C由题意知bc(3，1y)，ac(x1，y3)，依题意得解得c(1，2)，而bc21120，bc.9已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，设a，b，则等于()A.abB.abC.abDabA. B.C. D.11已知a(1，)，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB的面积是()A. B2 C2 D4解析：选D由题意|且，所以(ab)2(ab)2且(ab)(ab)0，所以ab0，且a
9、2b2，所以|a|b|2，所以SAOB| 4.12已知向量m(a，b)，n(c，d)，p(x，y)，定义新运算mn(acbd，adbc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算如果对于任意向量m都有mpm成立，则向量p为()A(1，0) B(1，0) C(0，1) D(0，1)解析：选A因为mpm，即(a，b)(x，y)(axby，aybx)(a，b)，所以即由于对任意m(a，b)，都有(a，b)(x，y)(a，b)成立所以解得所以p(1，0)故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知向量a(2x3，2x)，b(3x，2x)(xR)则|ab|的取值范围为_解析：因为ab(x
10、，x2)，所以|ab|，所以|ab|，)答案：，)14设e1，e2为两个不共线的向量，若ae1e2与b(2e13e2)共线，则实数等于_解析：因为a，b共线，所以由向量共线定理知，存在实数k，使得akb，即e1e2k(2e13e2)2ke13ke2又因为e1，e2不共线，所以解得.答案：15在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD的中点，则_解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系则由A(0，0)，B(2，0)，E(2，)，D(1，可得1.答案：1答案：1，4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17
11、(10分)已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，ab(2，0)，|ab|2；当x2时，a(1，2)，b(1，2)，ab(2，4)，|ab|2.综上所述，|ab|为2或2.18(12分)设向量a(cos ，sin )(02)，b，且a与b不共线(1)求证：(ab)(ab)；(2)若向量ab与ab的模相等，求角.解：(
12、1)证明：由题意，得ab，ab，因为(ab)(ab)cos2sin2110，所以(ab)(ab)(2)因为向量ab与ab的模相等，所以(ab)2(ab)2，所以|a|2|b|22ab0，因为|a|1，|b|1，所以|a|2|b|2，所以ab0，所以cos sin 0，所以tan ，又因为02，所以或.19(12分)如图，平行四边形ABCD中，a，b，H，M是AD，DC的中点，BFBC，(1)以a，b为基底表示向量(2)若|a|3，|b|4，a 与b的夹角为120，求解：(1)M为DC的中点， (2)由已知得ab34cos 1206，a2abb232(6)42.20(12分)在边长为1的正ABC
13、中，AD与BE相交于点F.解：(1)由题意，D为BC边的中点，而ABC是正三角形，所以ADBC，(ab)b2a2ab11.根据平面向量的基本定理有解得4.21(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin ，t). t2ksin 16.tsin (2ksin 16)sin 2k，k4，10，当sin 时，tsin 取最大值为.由4，得k8，此时，(4，8)，(8，0)(4，8)32.22(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2，1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标解：(1) (2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.A，E，C三点共线，存在实数k，使得，即e1(1)e2k(2e1e2)，得(12k)e1(k1)e2.e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，解得k，.(2) 3e1e2(6，3)(1，1)(7，2)(3)A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，即点A的坐标为(10，7)
