1、4.2 等 差 数 列4.2.1 等差数列的概念第1课时 等差数列的概念新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义2能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题3体会等差数列与一元一次函数的关系1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念(数学抽象)2借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系(数学抽象)3会求等差数列的通项公式,并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题(数学运算)4能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题(数学运算、数学建模)必备知识自主学习1.等差数列的定义(1)条件:从第_项起每一项与它的_的差都等于_常数(2)结论:这个
2、数列是等差数列(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_,常用_表示导思1.什么是等差数列?2等差数列的通项公式是什么?3什么是等差中项?2前一项同一个公差d(1)为什么强调“从第2项起”?提示:第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻2等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列(2)结论:_叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式:2A_Aab等式“2Aab”有哪些等价形
3、式?提示:2AabAabAAab2.3等差数列的通项公式递推公式通项公式_d(nN*)an_(nN*)an1ana1(n1)d1怎样从函数角度认识等差数列?提示:若数列an是等差数列,首项为a1,公差为d,则anf(n)a1(n1)dnd(a1d).(1)点(n,an)落在直线ydx(a1d)上;(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d.2由等差数列的通项公式可以看出,要求an,需要哪几个条件?提示:只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式ana1(n1)d即可1辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列()(2)等
4、差数列an的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a,b,c满足2bac,则a,b,c一定是等差数列()提示:(1)若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列(2)当d0时为递增数列;d0时为常数列;d1),记bn1an2.求证:数列bn是等差数列【证明】(定义法)因为bn11an12 144an 2an2(an2),所以bn1bnan2(an2)1an2 an22(an2)12,为常数(nN*).又b11a12 12,所以数列bn是首项为12,公差为12 的等差数列(等差中项法)因为bn1an2
5、,所以bn11an12 144an 2an2(an2).所以bn2an12(an12)44an244an2an1an2.所以bnbn22bn11an2 an1an2 2an2(an2)0.所以bnbn22bn1(nN*),所以数列bn是等差数列【补偿训练】已知数列an满足an13an3n,且a11.(1)证明:数列an3n 是等差数列;(2)求数列an的通项公式【解析】(1)由an13an3n,两边同时除以3n1,得an13n1 an3n 13,即an13n1 an3n 13.由等差数列的定义知,数列an3n 是以a13 13 为首项,13 为公差的等差数列(2)由(1)知an3n 13(n1
6、)13 n3,故ann3n1,nN*.备选类型 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)【典例】已知f(x)2xx2,在数列xn中,x113,xnf(xn1)(n2,nN*),试说明数列1xn 是等差数列,并求x95的值【思路导引】设法说明 1xn 1xn1是常数【解析】因为当n2时,xnf(xn1),所以xn2xn1xn12(n2),即xnxn12xn2xn1(n2),得2xn12xnxnxn11(n2),即 1xn 1xn112(n2).又 1x1 3,所以数列1xn 是以3为首项,12 为公差的等差数列,所以1xn 3(n1)12 n52,所以xn 2n5,所以x952955 15
7、0.(1)证明一个数列是等差数列的基本方法:定义法,即证明anan1d(n2,d为常数)或an1and(d为常数),若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可(2)证明一个数列是等差数列,主要的推理形式为演绎推理,通过学习,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,培养学生的数学核心素养1已知数列an满足a11,且an2an12n(n2,且nN*).(1)求a2,a3;(2)证明:数列an2n 是等差数列;(3)求数列an的通项公式an.【解析】(1)a22a1226,a32a22320.(2)因为an2an12n(n2,且nN*),所以an2n an12n1 1(n2,且nN*),即an2
8、n an12n1 1(n2,且nN*),所以数列an2n 是首项为a121 12,公差d1的等差数列(3)由(2),得an2n 12(n1)1n12,所以ann12 2n.2已知数列an满足a1a21,anan12(n3).(1)判断数列an是否为等差数列?说明理由;(2)求an的通项公式【解析】(1)当n3时,anan12,即anan12,而a2a10不满足anan12(n3),所以an不是等差数列(2)当n2时an是等差数列,公差为2.当n2时,an12(n2)2n3,又a11不适合上式,所以an的通项公式为an 1n 12n3n2.,课堂检测素养达标1在等差数列an中,若a24,a42,
9、则a6()A1 B0 C1 D6【解析】选B.设an的公差为d,根据题意知:a4a2(42)d,易知d1,所以a6a4(64)d0.2等差数列an的首项为70,公差为9,则这个数列中绝对值最小的一项为()Aa11Ba10Ca9Da8【解析】选C.|an|70(n1)(9)|799n|,所以n9时,|an|最小3已知数列an,对任意的nN*,点Pn(n,an)都在直线y2x1上,则an为()A公差为2的等差数列B公差为1的等差数列C公差为2的等差数列D非等差数列【解析】选A.由题意知an2n1,所以an1an2.4已知a13 2,b13 2,则a,b的等差中项为_【解析】ab213 213 223 2 3 22 3.答案:35三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,则这三个数为_【解析】设这三个数分别为ad,a,ad,则3a9,所以a3.所以这三个数分别为3d,3,3d.由题意,得3(3d)6(3d),所以d1.所以这三个数分别为4,3,2.答案:4,3,2