1、4综合拔高练五年高考练考点1求线性目标函数的最值1.(2020浙江,3,4分,)若实数x,y满足约束条件x-3y+10,x+y-30,则z=x+2y的取值范围是() A.(-,4B.4,+)C.5,+)D.(-,+)2.(2016浙江,3,5分,)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域x-20,x+y0,x-3y+40中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.22B.4C.32D.63.(2020全国理,13,5分,)若x,y满足约束条件x+y0,2x-y0,x1,则z=3x+2y的最大值为.易错4.(2020全国理,13,5分
2、,)若x,y满足约束条件2x+y-20,x-y-10,y+10,则z=x+7y的最大值为.深度解析5.(2018北京,12,5分,)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是.6.(2018课标全国,14,5分,)若x,y满足约束条件x+2y-50,x-2y+30,x-50,则z=x+y的最大值为.7.(2018浙江,12,6分,)若x,y满足约束条件x-y0,2x+y6,x+y2,则z=x+3y的最小值是,最大值是.8.(2017课标全国,13,5分,)若x,y满足约束条件x-y0,x+y-20,y0,则z=3x-4y的最小值为.9.(2017课标全国,14,5分,)设x,y满足约束条件
3、x+2y1,2x+y-1,x-y0,则z=3x-2y的最小值为.考点2线性规划的实际应用10.(2017天津,16,13分,)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应
4、的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?三年模拟练一、选择题1.()设不等式组x+y4,y-x0,x-10表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r0)不经过区域D上的点,则r的取值范围是() A.(2,25)B.(0,2)(5,+)C.(22,25D.(0,22)(25,+)2.()已知不等式组x0,y0,x+y-2-10,x-ky+k0表示的是一个轴对称四边形围成的平面区域,则实数k为()A.1B.-1C.1D.23.()已知实数x,y满足x2-xy2-y,0y12,若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在12,12处取得最
5、大值,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.-1,14.()已知区域D:x-y+10,x+y-10,3x-y-30的面积为S,点集T=(x,y)D|ykx+1在平面直角坐标系中对应区域的面积为12S,则k的值为()A.1B.12C.13D.2二、填空题5.()若实数x,y满足条件x1,x-2y+30,yx,则z=y-1x的最大值是.6.()若点P(x,y)是不等式组0x3,3yx,y3表示的平面区域内一动点,且不等式2x-y+a0恒成立,则实数a的取值范围是.7.()记不等式组(x-2y)(x+3y)0,x0表示的平面区域为D,则圆x2+y2=1在区域D内的弧长
6、为.三、解答题8.()一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克.但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生每亩每期只需80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,则这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?答案全解全析4综合拔高练五年高考练1.B由约束条件画出可行域如图.易知z=x+2y在点A(2,1)处取得最小值4,无最大值,所以z=x+2y的取值范围是4,+).故选B.2.C由不等式组画出可行域,如图中阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-
7、2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.由x+y=0,x=2,解得x=2,y=-2,即C(2,-2),由x-3y+4=0,x+y=0,解得x=-1,y=1,即D(-1,1),所以|AB|=|CD|=(2+1)2+(-2-1)2=32.故选C.3.答案7解析如图所示,x,y满足的可行域为AOB及其内部.由目标函数z=3x+2y得y=-32x+z2.当直线y=-32x+z2过点A(1,2)时,z取最大值,最大值为7.易错警示求解线性规划问题的注意事项:准确无误地作出可行域;画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;一般情况下,目标函数的最大值与最
8、小值会在可行域的顶点或边界上取得.4.答案1解析作出可行域如图,由z=x+7y得y=-x7+z7,易知当直线y=-x7+z7经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+70=1.方法总结线性规划问题的最优解一般在可行域的边界或顶点处取得,所以可以通过平移目标函数对应直线找到最优解,还可以通过比较边界或顶点处的目标函数值进行判断.5.答案3解析由x+1y2x作出可行域,如图中阴影部分所示.设z=2y-x,则y=12x+12z,由y=2x,y=x+1,解得x=1,y=2,即A(1,2).由图知,当直线y=12x+12z过点A(1,2)时,z取得最小值3.6.答案9解析由线性约束条件画出可行域
9、(如图中阴影部分所示).由x=5,x-2y+3=0,解得x=5,y=4,即A(5,4).由图知,当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,且最大值为9.7.答案-2;8解析由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.目标函数z=x+3y可转化为y=-13x+z3,由图知当直线y=-13x+z3过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2;过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.8.答案-1解析画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界).可得目标函数z=3x-4y在点A处取得最小值,由x+y
10、-2=0,y=x,解得x=1,y=1,即A(1,1),所以zmin=31-41=-1.9.答案-5解析由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在点A处取得最小值,又由x+2y=1,2x+y=-1,解得x=-1,y=1,即A(-1,1),所以zmin=3(-1)-21=-5.10.解析(1)由已知得x,y满足的数学关系式为70x+60y600,5x+5y30,x2y,xN,yN,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,xN,yN.不等式组7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0表示的平面区域如图1所示(阴影部分,且包括边界).图1(2)
11、设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.将z=60x+25y变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,位置随z变化的一组平行直线,z25为直线在y轴上的截距.当z25取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.图2解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得x=6,y=3,所以点M的坐标为(6,3).所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.三年模拟练一、选择题1.D不等式组x+y4,y-x0,x-10表示的平面区域D如图中阴影部分(ABE及其内部)所示,
12、易得A(1,1),B(1,3),圆心C(-1,-1),连接CB,当圆C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r0)的半径r|CB|=25时,圆不经过区域D上的点,故选D.2.C在不等式组x0,y0,x+y-2-10表示的平面区域中,三个顶点的坐标分别为(0,0),(2+1,0),(0,2+1),又x-ky+k=0表示的是过点(0,1)的直线,所以当k0时,k=1满足条件(如图1);当k0时,k=-1满足条件(如图2).故当k=1时,不等式组x0,y0,x+y-2-10,x-ky+k0表示的是一个轴对称四边形围成的平面区域,故选C.3.A构造二次函数f(t)=t2-t,由x2-xy2-y可得f(x
13、)f(y).根据二次函数的单调性可知,自变量离对称轴越远函数值越大,又已知0y12,所以可得x-1212-y,即x12,x-1212-y,0y12或x12,12-x12-y,0y12,画出可行域如图所示.目标函数可转化为y=-ax+z,直线斜率为-a,又已知目标函数仅在12,12处取得最大值,所以由图可知,-1-a1,即-1a1.故选A.4.C作出不等式组x-y+10,x+y-10,3x-y-30对应的平面区域,如图中阴影部分所示,即为平面区域D.因为直线y=kx+1过定点A(0,1),点集T=(x,y)D|ykx+1在平面直角坐标系中对应区域的面积为12S,所以直线y=kx+1过线段BC的中
14、点M.由x-y+1=0,3x-y-3=0,解得x=2,y=3,即B(2,3).又C(1,0),所以BC的中点M的坐标为32,32,则32=32k+1,解得k=13.二、填空题5.答案1解析作出x1,x-2y+30,yx表示的平面区域,如图所示,目标函数z=y-1x可以看作可行域内的点(x,y)与点(0,1)连线的斜率,由图可知,点A与点(0,1)连线的斜率最大.解方程组x=1,x-2y+3=0,得x=1,y=2,即A(1,2).zmax=2-11=1.6.答案a3解析2x-y+a0恒成立等价于ay-2x恒成立,设z=y-2x,求出z的最大值即可.作出不等式组对应的平面区域如图,由z=y-2x得
15、y=2x+z,平移直线y=2x+z,由图可知当直线经过点C(0,3)时,直线的纵截距最大,此时z最大,zmax=3-0=3,a3.7.答案4解析题中不等式组等价于x-2y0,x+3y0,x0或x-2y0,x+3y0,x0,画出不等式组表示的平面区域D如图所示,由图可知,圆x2+y2=1在区域D内的弧长所对的圆心角为+.又知tan =12,tan =13,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=12+131-1213=1,可得+=4,所以圆x2+y2=1在区域D内的弧长为41=4.三、解答题8.解析设水稻种x亩,花生种y亩,则由题意得x+y2,240x+80y400,x0,y0,即x+y2,3x+y5,x0,y0.联立x+y=2,3x+y=5,得交点B(1.5,0.5).画出可行域如图中阴影部分所示,设总利润为P,则P=(3400-240)x+(5100-80)y=960x+420y(目标函数),由图可知,当直线P=960x+420y经过点B(1.5,0.5)时,目标函数取得最大值,即当x=1.5,y=0.5时,P最大=9601.5+4200.5=1 650,所以水稻种1.5亩,花生种0.5亩时,才能得到最大利润.
