1、13.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第 1 课时 余弦函数的图象与性质第一章 基本初等函数()第一章 基本初等函数()1.了解由正弦曲线转化为余弦曲线的过程 2.理解余弦函数的性质 3掌握五点法作图及余弦函数的图象与性质的求解及其应用.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()1余弦函数的图象把正弦函数 ysin x 的图象_就得到余弦函数 ycos x 的图象，该图象叫做余弦曲线余弦曲线图象为：向左平移2个单位长度栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()2余弦函数的性质函数ycos x 定义域_值域_ 奇偶性_ 周
2、期性以_为周期，2 为最小正周期 R1，1偶2k(kZ，k0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()函数ycos x 单调性当 x_时，递增；当 x_时，递减.最大值与最小值当 x_时，最大值为_；当 x_时，最小值为_.2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)2k(kZ)12k(kZ)1栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 ysin x 的图象向右平移2个单位得到函数 ycos x 的图象()(2)函数 ycos x 的图象关于 x 轴对称()(3)函数 ysin x，
3、x0，2的图象与函数 ycos x，x0，2的图象的形状完全一致()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()2用“五点法”作函数 ycos 2x，xR 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A0，2，32，2B0，4，2，34，C0，2，3，4D0，6，3，2，23解析：选 B.令 2x0，2，32 和 2，得 x0，4，2，34，故选 B.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()3函数y3cos x1的最大值是_，最小值是_解析：因为 cos x1，1，所以 ymax314，ymin312.答案：4 2栏目导引探
4、究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()余弦函数图象的作法及其变换 用五点法作出函数 y2cos13x4 一个周期内的简图，并说明 y2cos13x4 的图象可由函数 ycos x 的图象怎样变换得到？栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()【解】因为 y2cos13x4 的周期 T2136，所以先在区间0，6上按五个关键点列表，描点，并用光滑的曲线将它们连接起来如下：x343494154214 13x402322 cos13x410101 2cos13x420202 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章
5、 基本初等函数()y2cos13x4 的图象也可由 ycos x 的图象变换而来，变换步骤如下：栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()法一：先将函数 ycos x 的图象向左平移4个单位，得函数 ycosx4 的图象，再将函数 ycosx4 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)，得函数 ycos13x4 的图象，最后将函数 ycos13x4 图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，得函数 y2cos13x4 的图象 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()法二：ycos x横坐标伸
6、长到原来的3倍（纵坐标不变）ycos13x所有点向左平移34 个单位 ycos13x4 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）y2cos13x4.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()(1)在用“五点法”画出函数 yAcos(x)的图象时，所取的五点应由 x0，2，32，2 来确定，而不是令 x0，2，32，2.(2)选择先平移还是先伸缩，影响平移的单位长度(3)无论将伸缩变换放在哪一个环节，其伸缩的量是不变的，即伸长或者缩短的量是固定的 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()画出函数 y32cos x 的简图(1)
7、求使此函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合并分别写出最大值、最小值(2)讨论此函数的单调性栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()解：按五个关键点列表如下，描点画出图象(如图)x02322 cos x10101 32cos x53135 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()(1)当 cos x1 即 xx|x2k，kZ时，ymax325，当 cos x1 即 xx|x(2k1)，kZ时，ymin321.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()(2)令 tcos x，则 y
8、32t，因为函数 y32t，当 tR 时是递增的，所以当 x(2k1)，2k(kZ)时，函数 ycos x 是递增的，y32cos x 也是递增的，当 x2k，(2k1)(kZ)时，函数 ycos x 是递减的，y32cos x 也是递减的栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()函数的周期性与奇偶性 判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期(1)y3cos 2x，xR；(2)ycos34x32.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()【解】(1)y3cos 2x 的周期 T22.因为 xR 且有 3cos2(x)3cos
9、2x，所以 y3cos 2x，xR 为偶函数(2)函数 ycos34x32 的周期 T23483.因为 xR，且 f(x)cos34x32 sin34x，所以 f(x)sin34x sin34xf(x)所以 ycos34x32 为奇函数栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()(1)求函数的最小正周期的基本方法是：若能直接用某些结论，则用其结论即可；若不能直接用，可对其解析式化简，使之能用结论要注意化简过程必须等价，定义域不能发生变化图象法也是求周期的一种方法(2)判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提，另外还要注意诱导
10、公式在判断f(x)与 f(x)之间关系时的应用栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()1.若 f(x)cos x2，则 f(x)的最小正周期为()A2 BC2D4解析：选 D.T2|2124.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()2下列函数中，以 为周期的偶函数是()Ay|sin x|Bysin|x|Cycos2x3Dysinx2解析：选 A.B 不是周期函数，C 中周期为 但不是偶函数，D中 ysin(x2)cos x 周期为 2.画出 A 中 y|sin x|的图象也可知它周期为，且是偶函数栏目导引探究案讲练互动
11、应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()函数的单调性与值域(最值)已知 x0，f(x)sin(cos x)的最大值为 a，最小值为 b.g(x)cos(sin x)的最大值为 c，最小值为 d，试判断 a、b、c、d 的大小关系栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()【解】因为 x0，所以 cos x1，1，sin x0，1 因为当 t2，2 时，函数 ysin t 是递增的且1，12，2 所以当 t1，1时，函数 ysin t 是递增的 所以当 cos x1 时，f(x)取最小值 bsin(1)sin 1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩
12、固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()当 cos x1 时，f(x)取最大值 asin 1.同理根据函数 ycos t，在0，上是递减的 知当 sin x0 时，g(x)取最大值 ccos 01，当 sin x1 时，g(x)取最小值 dcos 1.又因为41cos 10.所以sin 10cos 1sin 11，即 bdac.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()若将本例中的 x0，改为 x0，2，其结果又是如何呢？解：因为 x0，2，所以 cos x0，1，sin x0，1 所以 f(x)sin(cos x)0，sin 1，g(x)cos(si
13、n x)cos 1，1 所以 asin 1，b0，c1，dcos 1.又因为412，所以 sin 1cos 10.所以 0cos 1sin 11，即 bdac.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()三角函数最值问题的求解方法(1)形如 yasin x(或 yacos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对 a 正负的讨论(2)形如 yAsin(x)b(或 yAcos(x)b)型，可先由定义域求得 x 的范围，然后求得 sin(x)(或 cos(x)的范围，最后求得最值(3)形如 yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设 tsi
14、n x，转化为二次函数 yat2btc 求最值t 的范围需要根据定义域来确定栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()用 A 和 B 分别表示函数 y32cos(x)的最大值和最小值，则 AB 等于()A5 B6C7 D8解析：选 B.因为 y32cos(x)32cos x，所以当 cos x1 时，ymax5，即 A5，当 cos x1 时，ymin1，即 B1，所以 AB6.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()本节中 ycos x 要以 ysin x 为依据，类比讨论其图象与性质，同样 yAcos(x)要依据 y
15、Asin(x)的方法来研究，同时要注意类比法学习新知识栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()失误防范图象变换中，若有正弦型与余弦型相互变换，应先由诱导公式统一函数名称，再变换转化公式为，sin xcosx2，cos xsinx2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()1函数 ysin2 01722 018x 是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()解析：选 B.ysin2 01722 018x sin22 018x 1
16、008 sin22 018x cos 2 018x.所以函数为偶函数 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()2已知函数 f(x)sin(x2)(xR)，下面结论错误的是()A函数 f(x)的最小正周期为 2B函数 f(x)在区间0，2上是增函数C函数 f(x)的图象关于直线 x0 对称D函数 f(x)是奇函数解析：选 D.因为 ysin(x2)cos x，所以 T2，在0，2上是增函数，图象关于 y 轴对称，又 ycos x 为偶函数，故选 D.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()3函数 y13cos2x4的单调
17、增区间是_解析：令 2k2x42k，kZ.所 以 k 38 x k 8，kZ，则 单 调 增 区 间 为k38，k8(kZ)答案：k38，k8(kZ)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()4函数 y|cos x|的单调增区间为_，单调减区间为_，最小正周期为_解析：将 ycos x 的图象在 x 轴上方的不动，下方部分对称地翻到 x 轴上方，即得函数 y|cos x|的图象，如图所示 由图可知它的周期为.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()又因为在一个周期2，2上，函数的增区间是2，0，减区间是0，2 而函数的所有周期是 k(kZ)，因此函数 y|cos x|的增区间是k2，k(kZ)，减区间是k，k2(kZ)答案：k2，k(kZ)k，k2(kZ)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 基本初等函数()本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
