1、第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin xcos xtan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力题型为选择题和填空题，低档难度.基础梳理1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：_.sin2xcos2x1 sin xcos xtan x2三角函数的诱导公式组
2、数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin 余弦cos 正切tan tan tan tan sin sin cos cos cos cos cos sin sin sin 三基自测1(必修4习题1.2A组改编)已知tan 3，则cos2sin2.答案：452(必修4习题1.3B组改编)已知sin2 35，0，2，则sin().答案：453(必修41.3例题改编)化简sincos2costan .答案：cos 4(必修4习题1.3B组改编)cos174 sin174 的值是答案：2考点一|同角三角函数关系的应用(方法突破)方法1“平方关系”正、余弦的转化【例1】(1)(2018安阳一模)若1co
3、s sin 3，则cos 2sin()A1 B1C25D1或25(2)(2017江西师大附中检测)已知为第二象限角，sin cos 33，则cos 2()A.53B 59C 53D 59解析(1)若1cos sin 3，则1cos 3sin，又sin2cos21，sin 35，cos 3sin 145，cos 2sin 25，故选C.(2)sin cos 33，两边平方得1sin 213，sin 223，(sin cos)21sin 253.为第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos 153.cos 2(sin cos)(sin cos)153 33 53.故选C.答案(1)C(2)
4、C方法2“商数关系”弦与切的转化【例2】(1)(2017福建泉州质检)若tan 2，则2sin21sin 2 的值为()A.53 B134C135 D134(2)已知为第二象限的角，且tan 34，则sin cos()A75B34C15D15解析(1)tan 2，2sin21sin 2 3sin2cos22sin cos 3tan212tan 322122134.故选D.(2)tan sin cos 34，sin2cos21，又为第二象限的角，sin 0，cos 0，联立，解得sin 35，cos 45，则sin cos 15.故选C.答案(1)D(2)C名师点拨 同角三角函数关系式的应用方法
5、1利用sin2cos21可实现角的正弦、条弦的互化，利用 sin cos tan 可以实现角的弦切互化2由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论3分式中分子与分母是关于sin，cos 的齐次式，往往转化为关于tan 的式子求解跟踪训练(1)已知是第二象限角，sin 513，则cos()A1213B 513C.513D1213答案：A(2)(2018云南模拟)已知2，tan 2，则cos()A15B25C 55D2 55解析：是第二象限角，且tan sin cos
6、 2，cos 0，sin 0，sin2cos21，cos 55，故选C.答案：C(3)已知tan 2，则cos()cos2 的值为答案：25考点二|诱导公式及应用(思维突破)【例3】(1)已知cos6 23，则sin23.(2)若f(cos x)cos 2x，求f(sin 15)的值解析(1)sin23 sin26sin26cos6 23.填23.(2)f(sin 15)f(cos 75)cos 150cos(18030)cos 30 32.答案(1)23名师点拨 利用诱导公式化简求值的方法(1)“负化正”，运用公式三将任意负三角函数化为任意正角的三角函数(2)“大化小”，利用公式一将大于36
7、0角的三角函数化为0到360角的三角函数，利用公式二将大于180角的三角函数化为0到180角的三角函数(3)“小化锐”，利用公式六将大于90角化为0到90角的三角函数(4)“锐求值”，得到0到90角的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得跟踪训练(1)若本例(1)中条件不变，求sin43 的值解析：sin43 sin326cos6 23.(2)若本例(2)中条件不变，求f(cos 15)的值解析：f(cos 15)cos 30 32.(3)若本例(2)中条件不变，求fsin 12 fcos 12 的值解析：fsin 12 fcos 12fcos2 12 fcos 12cos
8、6 cos26cos6cos60.考点三|同角关系的诱导公式综合应用(方法突破)方法1 已知角求三角函数表达式的值【例4】求：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945的值解析 原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin 330)tan 225(sin 60)(cos 30)cos 60sin 30tan 45 32 32 121212.方法2 已知代数式的值，求三角函数表达式的值【例5】已知sin()cos()23 2，求sin cos 的值
9、解析 由sin()cos()23，得sin cos 23，将式子两边平方得12sin cos 29，故2sin cos 79.(sin cos)212sin cos 179 169.又2，sin 0，cos 0.sin cos 43.方法3 三角函数式的化简与求值【例6】(1)已知f()sincos2costan ，则f313 的值为()A.12B13C12D13(2)(2017深州市校级期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2xy0上，则sin32 cossin2 sin()A2 B2C0 D23解析(1)f()sin cos cos tan cos，f313 cos
10、313cos103cos312.(2)由已知可得，tan 2，则原式cos cos cos sin 21tan 2.故选B.答案(1)C(2)B名师点拨 同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有1弦切互化法：主要利用公式tan xsin xcos x进行切化弦或弦化切，如asin xbcos xcsin xdcos x，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦切化2和积转换法：对于sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos 可以知一求二3巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin21 1
11、tan2 tan4.跟踪训练(1)已知1sin xcos x 12，那么 cos xsin x1的值为()A.12B12C2 D2答案：A(2)已知f(x)cos2nxsin2nxcos22n1x(nZ)，求f136 .解析：当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)cos22kxsin22kxcos222k1xcos2xsin2xcos2xcos2xsin x2cos x2sin2x；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)cos22k1xsin22k1xcos222k11xcos22kxsin22kxcos222k1xcos2xsin2xcos2xcos x2sin2xcos x2sin2x，综上得f(x)sin2x.f136 sin2136 sin2614.