1、第二课时两个计数原理的综合应用选(抽)取与分配问题典例某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2612(种)方法故共有261220(种)选法选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者
2、图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 活学活用1甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有_种不同的推选方法解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3515种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有326种选法；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5210种选法
3、综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有1561031种不同选法答案：312图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有_种不同的分法解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的7本中任选1本，共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任选1本，共有6种方法所以不同分法有876336种答案：336用计数原理解决组数问题典例用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解(1)三位数字的电话号
4、码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125(种)(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(种)(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有23318(种)排法因而有121830(种)排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题组成的数为“奇数
5、”“偶数”“被某数整除的数”；在某一定范围内的数的问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字之间满足某种关系问题等(2)解决原则明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位活学活用1从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为()A24B18C12 D6解析：选B由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情况，
6、可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种因此总共有12618种情况故选B2如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,342,275等)，那么所有凸数个数是多少？解：分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，有122个；当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，有236个；同理可得：当中间数为4时，有3412个；当中间数为5时，有4520个；当中
7、间数为6时，有5630个；当中间数为7时，有6742个；当中间数为8时，有7856个；当中间数为9时，有8972个故共有26122030425672240个用计数原理解决涂色(种植)问题典例如图所示，要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？解优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步第1步，涂“优”区域，有3种选择第2步，涂“化”区域，有2种选择第3步，涂“指”区域，由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择第4步，涂“导”区域，由于它与“化”“指”区域颜色不同，有1种选择所以根据分步
8、乘法计数原理，得不同的涂色方法共有32116(种)求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题活学活用有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ABCD解：法一：第一步：种植A试验田有4种方法；第二步：种植B试验田有3种方法；第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同
9、，则D试验田有3种方法，此时有133种种植方法若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有224种种植方法由分类加法计数原理知，有347种方法第四步：由分步乘法计数原理有N43784种不同的种植方法法二：(1)若A，D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有43336种种植方法(2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有432248种种植方法. 综上所述，由分类加法计数原理，共有N364884种种植方法 层级一
10、学业水平达标1由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为()A15B12C10 D5解析：选D分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个由分类加法计数原理知共有偶数5个2三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A4种 B5种C6种 D12种解析：选C若甲先传给乙，则有甲乙甲乙甲，甲乙甲丙甲，甲乙丙乙甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法3若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b
11、4c，则这样的三角形有()A10个 B14个C15个 D21个解析：选A当b1时，c4；当b2时，c4,5；当b3时，c4,5,6；当b4时，c4,5,6,7.故共有10个这样的三角形选A4已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为()A18 B16C14 D10解析：选C分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有326个不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有428个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6814个不同的点5从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其
12、中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对解析：选C与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对角线有8条，故共有8对正方体的12条面对角线共有12896(对)，且每对均重复计算了一次，故共有48(对)6.如图所示为一电路图，则从A到B共有条不同的单支线路可通电解析：按上、中、下三条线路可分为三类：从上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有22=4(条)根据分类加法计数原理，共有3+1+4=8(条)答案：87将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种蔬菜，相邻试验田不能种植同一种蔬菜，不同的种法有_种(种植品种可以不全)解析：分五步，由左到右依次种植，种法分
13、别为4,3,3,3,3.由分步乘法计数原理共有43333324(种).答案：3248.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_组解析：分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5630组不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到303060组.答案：609某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下：甲大学乙大学专业生物学数学化学会计学医学信息技术学工商
14、管理学物理学如果这名同学只能选择一所大学的一个专业，那么他的专业选择共有多少种？解：由图表可知，分两类，第一类：甲所大学有5个专业，共有5种专业选择方法；第二类：乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N538(种)10若直线方程AxBy0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解：分两类完成第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x0或y0，共2条第2类，当A，B不为0时，直线AxBy0被确定需分两步完成第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法由分步
15、乘法计数原理知，共可确定4312条直线由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有21214条层级二应试能力达标1把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有()A4种B5种C6种 D7种解析：选A分类考虑，若最少一堆是1个，由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3544知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个共1种分法，故共有分法1214种2要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是()A2 160 B720C240 D120解析：选B可分三步：第一步，任取一张电影票分给一人，有10种不同分法；
16、第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票，不能再参与，故有9种不同分法第三步，前面两人已得电影票，不再参与，因而剩余最后一张有8种不同分法所以不同的分法种数是1098720(种)3用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有()A36个 B18个C9个 D6个解析：选B分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法故有33218个不同的四位数ABCD4.用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C
17、，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有()A12种 B24种C48种 D72种解析：选D先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法由分步乘法计数原理，共有433272(种)涂法5从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成_个不同的对数值解析：要确定一个对数值，确定它的底数和真数即可，分两步完成：第1步，从这8个数中任取1个作为对数的底数，有8种不同取法；第2步，从剩下的7个数中任取1个作为对数的真数，有7种不同取法根据分步乘法计数原理，可以组成8756个对数值在上述56个对数值中，log24log39
18、，log42log93，log23log49，log32log94，所以满足条件的对数值共有56452个答案：526.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有_种解析：先涂A，D，E三个点，共有43224种涂法，然后再按B，C，F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2(2112)8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1(1112)3种涂法所以涂色方法共有24(83)264种答案：2647.用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同
19、一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？解：(1)法一：分类：第一类，A，D涂同色，有654=120(种)涂法，第二类，A，D涂异色，有6543=360(种)涂法，共有120+360=480(种)涂法法二：分步：先涂B区，有6(种)涂法，再涂C区，有5(种)涂法，最后涂A，D区域，各有4(种)涂法，所以共有6544=480(种)涂法8有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法36729(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63216(种)