1、31空间中向量的概念和运算1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法2.掌握空间向量的线性运算，数量积3能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题 1空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记作|或|a|.2空间向量的加减法如图，从任意一点O出发作a，b.并且从A出发作b，则ab，ab3空间向量加法的运算律(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)4空间向量与实数相乘(1)定
2、义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量(2)向量a与a的关系的范围方向关系模的关系0方向相同a的模是a的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律(ab)ab(对向量加法的分配律)(12)a1a2a(对实数加法的分配律)5空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点O出发作a，b，则AOB就是a，b所成的角，a，b的数量积ab|a|b|cos_.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac1下列命题错误的是()A空间向量的长度与向量的长度相等B零向量没有长度，所以它不是空间向量C同向且等长的
3、有向线段表示同一向量或相等的向量D若ab，bc，则ac解析：选B.A中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B错误；C是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D正确2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，则a(bc)的值为()A1B0C1 D2解析：选B.a(bc)abac0.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与是_向量，向量与是_向量答案：相等相反空间向量的加减运算如图所示，已知长方体ABCDABCD.化简下列向量表达式，并在图中标
4、出化简结果(1)；(2).【解】(1).(2)().向量，如图所示试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量用向量，表示解：在平行四边形ACCA中，由平行四边形法则可得，在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得，故.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果 1.化简()()_解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)()()0.法二：(利用向量的减法运算法则求
5、解)()()()0.答案：02如图，在四棱锥VABCD中，化简.解：0.空间向量的线性运算如图所示，已知空间四边形ABCD中，向量a，b，c，若M为BC中点，G为BCD的重心，试用a、b、c表示下列向量：(1)；(2)；(3).【解】(1)连接AM，在ADM中，由线段中点的向量表示知()(ab)，由相反向量的概念知c，所以(ab)c(ab2c)(2)在BCD中，(ab2c)abc.(3)在ADG中，由三角形重心的性质，得cc(ab2c)(abc)(1)有限多个空间向量a1，a2，a3，an相加，可以从某点O出发，逐一引向量a1，a2，An1Anan.如图，于是以所得折线OA1A2An的起点O为
6、起点，终点An为终点的向量就是a1，a2，an的和，即 a1a2an.此即为空间向量的多边形法则(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重合，则和向量为零向量 已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)xy；(2)xy.解：如图，(1)因为()，所以xy.(2)因为2，所以2.又因为2，所以2.从而有2(2)22.所以x2，y2.向量的数量积及应用已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)；(2)
7、.【解】如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.若本例的条件不变，计算.解：()()(abc)|a|2|b|22. (1)空间向量运算的两种方法利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积代入ab|a|b|cosa，b求解 已知|a
8、|3，|b|4，a，b120，则(3a2b)(a2b)_解析：(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|23943441627246461.答案：611在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止2证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量若有，则两向量共线；若两向量a，b中，b0，且有ab(R)，则a，b共线3两向量的数量积，其结果是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定4当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量
9、，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有ab0，这由向量的几何意义就可以理解1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，()A.B.C. D.解析：选B.因为，所以.又，所以.2.如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_解析：因为()()2，因为APBD，所以0.因为|cosBAP|2，所以2|22918.答案：183.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式(1)；(2)；(3)；(4).解：(1).(2).(3).(4)0. A基础达标1若向量a、b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在
10、直线l上，则“ca0且bc0”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当ab时，由ca0且cb0得不出l；反之，l一定有ca0且cb0.故选B.2如图，在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于()A.B.C D解析：选A.因为()，所以.3.如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则()等于()A. B.C. D.解析：选A.().4在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是()A. B.C. D.解析：选A.在A选项中，()0.5如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与B
11、D的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aa bcB.abcC.abcDabc解析：选A.注意到()(ab)，ac(ab)abc.6如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则直线AB1和BM的位置关系是_解析：因为，设三棱柱的各棱长均为a，则()()20a2a2cos 12000.所以.答案：垂直7如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB4，AA13，BAA160，E为棱C1D1的中点，则_解析：，243cos 6004214.答案：148命题：向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；若a与b共线，则存在唯一的实数
12、，使ba；若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，则点M一定在平面ABC上，且在ABC内部上述命题中的真命题是_解析：中a所在的直线其实不确定，故是假命题；中当a0，而b0时，则找不到实数，使ba，故是假命题；中M是ABC的重心，故M在平面ABC上且在ABC内，故是真命题答案：9已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()；(3)|.解：(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(3)| .10如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，E、F、G分别是BC、C
13、D、DB的中点，请化简(1)；(2).并在图中标出化简结果的向量解：(1).(2)因为E、F、G分别为BC、CD、DB的中点，所以，.所以.故所求向量，如图所示 B能力提升11.正四面体ABCD的棱长为a，点E、F、G分别为棱AB、AD、DC的中点，则四个数量积：2；2 ；2；2中结果为a2的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B.22aacos 120a2.22aacos 60a2.22acos 0a2.22acos 120.12已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数，m，n，使mn0，那么mn的值为_解析：因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使k，即k()，
14、所以(k1)k0.又mn0，令k1，m1，nk，则mn0.答案：013已知平行六面体ABCDABCD，化简下列向量表达式(1)；(2)；(3)；(4)()解：如图所示，(1).(2).(3)设M是线段CC的中点，则.(4)设G是线段AC的三等分点，则()().14.(选做题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明：设a，b，c，则ab0，bc0，ac0.而()c(ab)，ba，()(ab)c.所以(cab)(ba)c(ba)(ab)(ba)(|b|2|a|2)0.所以，所以A1OBD.同理可证：，所以A1OOG.又因为OGBDO，且A1O平面BDG，所以A1O平面GBD.
