1、课后素养落实(二十三)抛物线的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1抛物线y4x2的焦点坐标是()A(0，1) B(1，0)CDC由y4x2得x2y，焦点在y轴正半轴上且2p，p，焦点为2顶点在原点，且过点(4，4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24yC抛物线的顶点在原点，且过点(4，4)，设抛物线的标准方程为x22py(p0)或y22px(p0)，将点(4，4)的坐标代入x22py得168p，p2，标准方程为x24y；将(4，4)代入y22px得p2，此时标准方程为y24x3已知函数y2x在区间0，1的最大值为a，则抛物线ax的准线方程是(
2、)Ax3Bx6Cx9Dx12B函数y2x在0，1上为增函数，最大值为a2抛物线2x化为标准方程是y224x，则2p24，p12，6抛物线2x的准线方程为x64抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()ABC1DB抛物线y24x的焦点是(1，0)，双曲线x21的一条渐近线方程为xy0，根据点到直线的距离公式可得d5设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()AB1CD2D易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PFx轴可得xP1，代入抛物线方程得yP2或yP2(舍去)，把P(1，2)代入曲线方程y(k0)得k2二、填空题6设抛物线y2x
3、2上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_抛物线y2x2上一点到x轴的距离为4，即点到x轴的距离d4，则点P的纵坐标为4，代入x2y，解得x，所以点P(，4)或(，4)，抛物线x2y的焦点坐标为，所以|PF|47已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_2由抛物线方程y22px(p0)，得其准线方程为x又圆的方程为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为4依题意，得34，解得p28如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米2以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系(图略)设抛物线方程为
4、x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，抛物线方程为x22y当y3时，x26，所以水面宽为2米三、解答题9根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5解(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3，0)由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，抛物线方程为y212x(2)设所求焦点在x轴正半轴上的抛物线方程为y22px(p0)，A(m，3)由抛物线定义得5|AF|又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x10已知抛物线C的顶点在原点，焦
5、点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|BF|8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px(p0)，则其准线为x设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|BF|8，所以x1x28，即x1x28p因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|QB|，即，又y2px1，y2px2，所以(x1x2)(x1x2122p)0，因为AB与x轴不垂直，所以x1x2故x1x2122p8p122p0，即p4从而抛物线的方程为y28x1(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F
6、，准线为l设l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QMPF交PF于M，过Q作QNEP交线段EP的延长线于N，则()A|PE|PF|B|PF|QF|C|PN|MF|D|PN|KF|ABD如图，由抛物线的定义可知|PE|PF|，故A正确；因为PQ是EPF的外角平分线，所以FPQNPQ，又ENKQ，所以NPQPQF，所以FPQPQF，所以|PF|QF|，故B正确；若|PN|MF|，则有FMQPNQ，从而有|FQ|PQ|，所以PFQ，此时P为定点，与P为抛物线C上异于O的任意一点矛盾，故C不正确；因为四边形KQNE是矩形，所以|E
7、N|KQ|，又|PE|PF|QF|，所以|PN|KF|，故D正确故选ABD2已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3B6C9D12B抛物线C：y28x的焦点为(2，0)，准线方程为x2，椭圆E的右焦点为(2，0)，椭圆E的焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，c2，e，a4，b2a2c212，椭圆E的方程为1，将x2代入椭圆E的方程，解得A(2，3)，B(2，3)，|AB|6，故选B3抛物线C：y22x的焦点坐标为_，经过点P(4，1)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦
8、点，则|AF|BF|_9由抛物线C：y22x，得2p2，p1，则，抛物线的焦点F，过A作AM准线，BN准线，PK准线，M，N，K分别为垂足则由抛物线定义可得|AM|BN|AF|BF|，再根据P为线段AB的中点，有(|AM|BN|)|PK|，|AF|BF|94在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_yx设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p联立方程，得整理得10由
9、根与系数的关系得y1y2b2ppp，即，解得，双曲线的渐近线方程为yx如图，A地在B地北偏东45方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度解(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4)因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线设抛物线方程为x22py(p0)，则p4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x28y(2)若要使架设电路所用电线长度最短，即使|MA|MB|的值最小如图所示，过M作MHl，垂足为H，依题意得|MB|MH|，所以|MA|MB|MA|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|MH|取得最小值，即|MA|MB|取得最小值，此时M所以变电房M应建在A地正南方向且与A地相距 km处，此时所用电线长度最短，最短长度为6 km
