1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑1（5分）已知=1ni，其中m，nR，i为虚数单位，则m+ni=（） A 2+i B 1+2i C 2i D 12i【考点】： 复数相等的充要条件【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 根据复数相等的条件进行化简即可【解析】： 解：=1ni，m=（1ni）（1+i）=1+n+（1n）i，则1+n=m且1n=0，即n=1，m=2，则m+ni=2+i，故选：A【点评】：
2、 本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键2（5分）“pq是假命题”是“p为真命题”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据充分必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：由pq是假命题，得p是假命题且q是假命题，得p是真命题且q是真命题，故pq是假命题”是“p为真命题的充分不必要条件，故选：A【点评】： 本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，是一道基础题3（5分）已知集合A=xR|0，B=xR|y=ln（x1），则UAB=（） A x
3、|x1 B x|1x2 C x|x2 D x|1x2【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解析】： 解：A=xR|0=x|x2或x0，B=xR|y=ln（x1）=x|x1，则UA=x|0x2，UAB=x|1x2，故选：D【点评】： 本题主要考查集合及其运算，解不等式，对数函数的性质，属于简单题4（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积是（） A 6 B 4（+1） C 4 D 8【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 首先根据题意，把平面图
4、转化为空间图形，进一步利用侧面积的公式求出结果【解析】： 解：一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以：该四棱锥为为正四棱锥其正（主）视图如图所示，则：下底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，四棱锥的侧面的高为：h=，则：四棱锥的侧面积：S=4=4故选：C【点评】： 本题考查的知识要点：三视图与立体图形之间的转换，棱锥的侧面积的应用主要考查学生的空间想象能力和应用能力5（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x3y的最小值（） A 2 B 4 C 6 D 8【考点】： 简单线性规划【专题】： 计算题【分析】： 我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目
5、标函数，比较后，即可得到目标函数z=x3y的最小值【解析】： 解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（2，2）取最小值8故选D【点评】： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解6（5分）已知实数x1，2，3，4，5，6，7，8，9，执行如图所示的程序框图，则输出的x大于120的概率为（） A B C D 【考点】： 程序框图【专题】： 概率与统计；算法和程序
6、框图【分析】： 由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于120得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x大于120的概率【解析】： 解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=33（3x+1）+1+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13120，得x3.9，由几何概型得到输出的x大于120的概率为：故选：B【点评】： 解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题7（5分）等差数列an前n项和为S
7、n，且=3，则数列an的公差为（） A 1 B 2 C 3 D 4【考点】： 等差数列【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d【解析】： 解：设等差数列an的公差为d，=3，=3，化简可得2dd=3，解得d=2故选：B【点评】： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题8（5分）已知圆C1：（xa）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（） A B C D 2【考点】： 圆与圆的位置关系及其判定【专题】： 直线与圆【分析】： 根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3利用
8、基本不等式即可求出ab的最大值【解析】： 解：由已知，圆C1：（xa）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，2），半径r1=2圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（b，2），半径r2=1圆C1：（xa）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，|C1C2|=r1+r2即a+b=3由基本不等式，得ab=故选：C【点评】： 本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题9（5分）已知函数f（x）=|x+3|x1|，若f（x）a23a（xR）恒成立，则实数a的取值范围为（） A （，14，+） B （，25，+） C 1，2 D （，12，+）【考
9、点】： 函数恒成立问题【专题】： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 运用绝对值不等式的性质可得f（x）=|x+3|x1|（x+3）（x1）|=4，当且仅当x1时，f（x）取得最大值4再由不等式恒成立思想可得a23a4，再由二次不等式的解法即可求得【解析】： 解：函数f（x）=|x+3|x1|（x+3）（x1）|=4，当且仅当x1时，f（x）取得最大值4若f（x）a23a（xR）恒成立，则a23a4，解得a4或a1则实数a的取值范围是（，14，+）故选：A【点评】： 本题考查不等式恒成立问题，主要考查绝对值不等式的性质求最值，注意不等式恒成立或有解问题转化为求函数的最值问题，属于中
10、档题和易错题10（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f（x）是它的导函数，且恒有f（x）+f（x）tanx0成立，则下列结论一定正确的是（） A B C D 【考点】： 利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用【分析】： 把条件f（x）+f（x）tanx0化简得出sinxf（x）0，得出y=sinxf（x）是减函数，利用单调性判断即可【解析】： 解：f（x）+f（x）tanx0，cosxf（x）+sinxf（x）0，sinxf（x）0，y=sinxf（x）是减函数，sinf（）sinf（），f（）故选：B【点评】： 本题综合考查了导数的运用，结合单调性判断大小，关键是根据题意得出
11、构造的函数，才能够利用导数解决，属于难题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分请在答题卡上答题11（5分）在如图所示的茎叶图表示的数据中，设众数为a，中位数为b，则的值为【考点】： 茎叶图【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 根据众数与平均数的概念，利用茎叶图中的数据，求出答案即可【解析】： 解：根据茎叶图中的数据，得；31出现次数最多，是2次，众数为a=31；又茎叶图中的数据有11个，按从小到大的顺序排列后，中间的是26，中位数为b=26；=故答案为：【点评】： 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目12（5分）设为向量，若与的夹角为，与的夹角
12、为，则=【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 画出图形，结合图形，应用正弦定理，容易解出答案【解析】： 解：设=，=，与的夹角为，与的夹角为，CAB=，ACB=由正弦定理，得，即，=，故答案为：【点评】： 本题考查了平面向量的基本运算问题，解题时应用数形结合，利用正弦定理解答，属于中档题13（5分）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x）【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即
13、可得到结论【解析】： 解：由图象知A=1，即函数的周期T=，T=，=2，即f（x）=sin（2x+），f（）=sin（2+）=1，+=+2k，即=+2k，|，当k=0时，=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin2（x）+=sin（2x），故答案为：sin（2x）【点评】： 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换关系，根据三角函数的图象求出函数的解析式是解决本题的关键14（5分）若抛物线x2=12y与双曲线有相同的焦点，则双曲线的离心率为【考点】： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥
14、曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系，即可得出结论【解析】： 解：抛物线x2=12y的焦点坐标为（0，3），抛物线x2=12y与双曲线有相同的焦点，5k=9，k=4，双曲线中a=，b=2，c=3，离心率e=故答案为：【点评】： 本题考查双曲线的抛物线的性质，简单题，注意三参数的关系：c2=a2+b215（5分）在平面直角坐标系内，设M（x1，y1），N（x2，y2）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c=0，给出下列5个命题：存在实数，使点N在直线l上；若=1，则过M，N两点的直线与直线l平行；若=1，则直线l经过
15、线段MN的中点；若1，则点M，N在直线l的同侧；若01，则点M，N在直线l的异侧其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 直线与圆；简易逻辑【分析】： 由可得：（ax2+by2+c0），即可判断出点N（x2，y2）与直线l的关系=1，则a（x1x2）+b（y1y2）=0，即过过M，N两点的直线与直线l的斜率的关系，又点N（x2，y2）不在直线l上，即可判断出两条直线位置关系；=1，ax1+by1+c+（ax2+by2+c）=0，化为+c=0，即可判断出正误；由（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）0，即可判断出点M，N与直线l的位置关系；同可知
16、：点M，N在直线l的同侧【解析】： 解：对于，化为：ax1+by1+c（ax2+by2+c）=0（ax2+by2+c0），即点N（x2，y2）不在直线l上，因此不正确对于，=1，则a（x1x2）+b（y1y2）=0，即过过M，N两点的直线与直线l的斜率相等，又点N（x2，y2）不在直线l上，因此两条直线平行，正确；对于，=1，则ax1+by1+c+（ax2+by2+c）=0，化为+c=0，因此直线l经过线段MN的中点，正确；对于，1，则（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）0，则点M，N在直线l的同侧，正确；对于，若01，同可知：点M，N在直线l的同侧，因此不正确综上可知：只有正确故答案
17、为：【点评】： 本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）sin（B）（）求角B的大小；（）若b=1，求ABC的面积的最大值【考点】： 两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】： 三角函数的求值；解三角形【分析】： （）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（）利用余弦定理得：b2=a2+c22accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范
18、围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值【解析】： 解：（）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2Bsin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB1=0，解得sinB=或sinB=1（5分）因为ABC是锐角三角形，所以B=（7分）（）由余弦定理：b2=a2+c22accosB，把b=1，B=代入可以得到：，所以=2 （10分）所以 （13分）当且仅当a=c时取等号，此时ABC的面积的最大值是（14分）【点评】： 本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型17（12分）已知某中学高三学生共有800人参加了
19、数学与英语水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人的成绩进行统计，先将800人按001，002，800进行编号（）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面是随机数表的第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2683 92 53 16 59 16 92 75 38 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 0158 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15（）抽取100人，
20、数学与英语水平测试成绩分为优秀、良好、及格三个等级，相应人数如表所示（例如表中a表示数学优秀且英语及格的人数）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；当a10，b8时，在所有有序数对（a，b）中，求事件ab的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；系统抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： （）直接利用系统抽样推出结果即可（）通过优秀率求出a，然后求解b通过a+b=31，且a10，b8，列出满足条件的（a，b）的基本事件总数，数学成绩为优秀的人数比及格的人数个数，然后求解数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率【解析】： 解（）依题意，最先检测的3个人的编号依次为1
21、65，538，629；3分（）由，得，a=147+9+a+20+18+4+5+6+b=100b=17； 6分由题意，知a+b=31，且a10，b8，满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组10分数学成绩为优秀的人数比及格的
22、人数少的概率为12分【点评】： 本题考查：抽样方法、统计计算及概率计算是中等题18（12分）如图所示，AD平面ABC，CE平面ABC，AD与 CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，四棱锥BACED的体积为，F为BC的中点求：（）CE的长度；（）求证：AF平面BDE；（）求证：平面BDE平面BCE【考点】： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算【专题】： 综合题；空间位置关系与距离【分析】： （I）证明AB平面ACED，可得AB为四棱锥BACED的高，利用四棱锥BACED的体积为，即可求出CE的长度；（）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行
23、四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AFGD，再由线面平行的判定定理得到AF平面BDE；（）由AB=AC，F为BC的中点可得AFBC，结合GFAF及线面垂直的判定定理可得AF平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE平面BCE【解析】： （）解：四边形ACED为梯形，且平面ABC平面ACEDBC2=AC2+AB2，ABAC平面ABC平面ACED=AC，AB平面ACED，2分即AB为四棱锥BACED的高，CE=24分（）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，则GF为三角形BCE的中位线，GFECDA，四边形GFAD为平行四边形，AFGD又GD平面BDE，AF平面BDE，AF平
24、面BDE8分（）证明：AB=AC，F为BC的中点，AFBC又GFAF，BCGF=F，AF平面BCEAFGD，GD平面BCE又GD平面BDE，平面BDE平面BCE12分【点评】： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定是中等题19（13分）已知点P（1，）是椭圆E：+=1（ab0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1x轴（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，+=（04，2）求证：直线AB的斜率为定值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）由已知得c=1，2a=|PF
25、1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），利用点差法能证明AB的斜率为定值【解析】： （1）PF1x轴，F1（1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，|PF1|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：=1（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=，得（x1+1，y1）+（x2+1，y2）=（1，），所以x1+x2=2，y1+y2=（2），又3+4=12，3+4=12，两式相减得3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，式代入得AB的斜率k=直线AB的斜率为定值【点评】： 本
26、题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用20（13分）已知数列an满足：a1+a2+a3+an1=n21（n2，nN+），数列bn满足：3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（）分别求出an，bn的通项公式；（）设数列bn的前n项和为Tn，求Tn【考点】： 数列递推式；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）在数列递推式中取n=n+1得另一递推式，和原递推式作差后可得an=2n+1（n2），验证首项后得an=2n+1（nN+），把an的通项公式代入3nbn+1=（n+1）an+1nan，整理即可求得：（nN+）；（）直
27、接利用错位相减法求数列bn的前n项和为Tn【解析】： 解：（）由，于是，两式相减得，an=2n+1（n2），又由已知可得a1=3，满足上式，an=2n+1（nN+），由3nbn+1=（n+1）an+1nan，得：3nbn+1=（n+1）（2n+3）n（2n+1=4n+3，于是，当n2时，又b1=3适合上式，（nN+）；（）由（1）知，得得=，综上，【点评】： 本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式和数列的前n项和，是中档题21（13分）已知函数f（x）=x3+2ax（2a+3）x+a2，（aR）（）当时，求f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若函数f（x）在区间（1，+
28、）上有极小值，求实数a的取值范围；（）当x1，1时，恒有f（x）0成立，求实数a的取值范围【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： （）求出当时，f（x）的解析式和导数，求得在点（0，f（0）处的切线斜率和切点，由斜截式方程即可得到切线方程；（）求出函数的导数，令导数为0，解方程可得极值点，再令，即可解得a的范围；（）由题意知，即使x1，1时，（f（x）min0对a讨论，结合函数的单调性，解不等式，最后求并集即可得到a的范围【解析】： 解：（）当时，f（x）
29、=3x2+x4，f（0）=4，又f（0）=，切线方程为；（）f（x）=3x2+2ax（2a+3）=（3x+2a+3）（x1）令f（x）=0，得x=1或，要使函数f（x）在区间（1，+）上有极小值点，必须有，解得a3； （）由题意知，即使x1，1时，（f（x）min0讨论当，即a3时，f（x）在x1，1上单调递增，得a1或a2，由此得：a3； 当，即3a0，f（x）在为增函数，在上为减函数，所以（f（x）min=minf（1），f（1），得解得a2或a2，由此得3a2；当，即a0，f（x）在x1，1上为减函数，所以得a2或a1，由此得a2；由得实数a的取值范围为a2或a2【点评】： 本题考查导数的运用：求切线方程和函数的极值，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题- 15 - 版权所有高考资源网
