1、课时素养检测五十三二倍角的正弦、余弦、正切公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若tan +=4,则sin 2=()A.B.C.D.【解析】选D.因为tan +=+=4,所以sin 2=.2.已知tan=cos 2,则sin 2=()A.0或1B.0或-1C.0D.1【解析】选A.tan=cos 2,可得sin=sincos=2sincos2,所以sin=0或cos2=,sin 2=cos=1-2sin2=2cos2-1,所以sin 2=1或0.3.(2018全国卷)若sin =,则cos 2=()A.B.C.-
2、D.-【解析】选B.因为sin =,所以cos 2=1-2sin2=1-=.4.若=,则tan 2=()A.B.-C.D.-【解析】选A.因为=,整理得tan =-3,所以tan 2=.5.已知=-2,则tan x的值为()A.B.-C.D.-【解析】选A.-2=tan,所以tan x=.【补偿训练】-等于()A.-2cos 5B.2cos 5C.-2sin 5D.2sin 5【解析】选C.原式=-=(cos 50-sin 50)=2=2sin(45-50)=-2sin 5.6.(多选题)已知函数f(x)=cos xsin,则下列结论中错误的是()A.f(x)既是奇函数又是周期函数B.f(x)
3、的图象关于直线x=对称C.f(x)的最大值为1D.f(x)在区间上单调递减【解析】选A、C、D.f(x)=cos xsin=sin xcos x+cos2x=sin 2x+=sin+,f(x)为非奇非偶函数,故A错误;令2x+=+k(kZ),对称轴:x=+(kZ),当k=0时,x=,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;f(x)的最大值为,故C错误;当x时,2x+,所以y=sin在上不单调,所以f(x)在区间上不单调,故D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知tan=2,则tan=_.【解题指南】由题意利用二倍角的正切公式求得tan的值,再利用两角和的正切公式求得tan=ta
4、n的值.【解析】因为tan=2,所以tan=-,则tan=tan=-.答案:-8.已知sin 2=,则cos -sin =_.【解析】因为,所以sin cos 即cos -sin 0,所以2k+2k+(kZ),所以4k+24k+(kZ),所以2为第三象限角,所以cos 2=-=-.答案:-6.-=_.【解析】原式=4.答案:47.已知sin=,则sin 2x的值等于_.【解析】方法一:因为sin=,所以cos=1-2sin2=1-2=,所以sin 2x=cos=.方法二:由sin=,得(sin x-cos x)=-,所以sin x-cos x=-,两边平方得1-sin 2x=,所以sin 2x
5、=.答案:8.已知sin cos =-,则sin cos 的取值范围是_.【解析】因为 sin cos =-,所以sin(+)=sin cos +cos sin =-+cos sin . sin(-)=sin cos -cos sin =-cos sin .又因为-1sin(+)1,-1sin(-)1, 所以-1-+cos sin 1,-1-cos sin 1,即-cos sin ,-cos sin ,综上可得:-sin cos .答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的定义域;(2)设是第四象限的角,且tan =-,求f()的值.【解析】(1)
6、函数f(x)要有意义需满足cos x0,解得x+k(kZ),即f(x)的定义域为.(2)f(x)=2(cos x-sin x),由tan =-,得sin =- cos ,又因为sin2+cos2=1,所以cos2=.因为是第四象限的角,所以cos =,sin =-,所以f()=2(cos -sin )=.10.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos 2A+6sin2=4.求角A的度数.【解析】因为2sin2=2cos2=1+cos A,所以4=cos 2A+6sin2=2cos2A-1+3(1+cos A),化为2cos2A+3cos A-2=0,又|cos A|1,解
7、得cos A=,因为A(0,),所以A=.11.已知为锐角,且cos=,求sin的值.【解题指南】注意到2+=2-,故把2作为一个整体,先由cos=,依据二倍角公式求出2的正、余弦值,再据两角差的正弦公式求出sin的值.【解析】因为cos=,且为锐角,所以sin=.所以sin 2=2sincos=;cos 2=2cos2-1=.所以sin=sin=sin 2cos-cos 2sin=-=.【总结】本题若将cos=依据两角和的余弦公式展开,然后结合cos2+sin2=1,解出的正、余弦值,其次求2与的正、余弦,最后依据两角和的正弦公式也可以求sin的值,由于没有应用整体化归的思想,则解题过程较为烦琐,故不高效,所以解决此类问题的策略,就是将所求的三角函数值化归成题设条件中“整角”的倍角的三角函数值解决.
