1、2015-2016学年安徽省滁州市高中联谊会高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设集合A=x|x2x20，B=x|x21，则AB=（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|1x22函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（）A（1，2）B（1，e）C（e，3）D（3，+）3已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是（）A，且mBmn，且nC，且mDmn，且n4在等差数列an中，S9=36，则a5=（）A3B4C6D55已知两点A（2，1）和B（1，1）到直线mx
2、+y+3=0距离相等，则m=（）A0或2B2或8C2或6D0或86已知函数f（x）=sinx+cosx1（0），y=f（x）的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于，则y=f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+kZBk+，k+kZCk，k+kZDk+，k+kZ7下列函数中最小值为2的是（）Ay=log2x+logx2（0x1）By=Cy=ex+exDy=x+8垂直于直线y=x1且与圆x2+y2=1相切于第三象限的直线方程为（）Ax+y=0Bx+y+1=0Cx+y1=0Dx+y+=09国庆节期间，滁州琅琊山公园举行免费游园一天活动，早晨6点30分有1人进入公园，接下来的第一个30分钟内有2人进
3、去出来1人出来，第二个30分钟内有4人进去2人出来，第三个30分钟内有8人进去3人出来，第四个30分钟内有16人进去4人出来，按照这种规律进行下去，到上午11点公园内的人数是（）A2937B21046C21156D2126710已知实数x，y满足，则z=的取值范围是（）A0，B，2）C，D，+）11在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ABC三边a，b，c上的高分别为，则ABC为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不存在这样的三角形12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABC
4、DC异面直线AE，BF所成的角为定值D三棱锥BAEF的体积为定值二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13若直线x+my1=0与直线mx+y1=0平行，则m=14设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为15一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为16已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且B=，给出下列命题角A，B，C成等差数列；若a=2c，则ABC为钝角三角形；若a，b，c成等比数列，则ABC为等边三角形；若tanA+tan C+0，则ABC为锐角三角形；2=+，则3A=C其中正确命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分，
5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=1+2sinxcosx2sin2x（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）解不等式：f（x）18已知等差数列an前n项和为Sn，且Sn=n2（1）求通项公式an；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn19过点P（1，2）作直线l与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：（1）AOB面积的最小值及此时直线l的方程；（2）求|PA|PB|的最小值及此时直线l的方程20已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，cccosA+csinAba=0（1）求角C的大小；（2）求y=sinA+sinB的取值范围21如图（1
6、）所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD（图（2）（1）求证：平面EFG平面PAB；（2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC平面ADQ；（3）求三棱锥CEFG的体积22已知数列an、bn中，a1=1，an+1=3an+2n（nN*）bn=，数列bn前n项和为Tn（1）求证：an+2n是等比数列，并求an的通项公式；（2）若不等式（1）nTn+对一切nN*恒成立，求的取值范围（3）证明：对一切正整数n，有+2015-2016学年安徽省滁州市高中联谊会高一（下）期末数学试卷
7、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设集合A=x|x2x20，B=x|x21，则AB=（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|1x2【考点】并集及其运算【分析】确定出A，B，找出两集合的并集即可【解答】解：由x2x20得到（x+1）（x2）0，解得1x2，即A=x|1x2，由x21，即1x1，即B=x|1x1，则AB=x|1x2，故选：A2函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（）A（1，2）B（1，e）C（e，3）D（3，+）【考点】二分法求方程的近似解【分析】由题意，函数f（x）=lnx在（0，+）上
8、连续，计算f（e），f（3）即可【解答】解：函数f（x）=lnx在（0，+）上连续，且f（e）=10，f（3）=ln310，故选C3已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是（）A，且mBmn，且nC，且mDmn，且n【考点】直线与平面垂直的判定【分析】根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果【解答】解：，且mm，或m，或m与相交，故A不成立；mn，且nm，故B成立；，且mm，或m，或m与相交，故C不成立；由mn，且n，知m不成立，故D不正确故选B4在等差数列an中，S9=36，则a5=（）A3B4C6D5【考点】等差数列的前n项
9、和【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、求和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质可得：a1+a9=2a5S9=36=9a5，则a5=4故选：B5已知两点A（2，1）和B（1，1）到直线mx+y+3=0距离相等，则m=（）A0或2B2或8C2或6D0或8【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：两点A（2，1）和B（1，1）到直线mx+y+3=0的距离相等，=，化为|2m+4|=|m+4|2m+4=（m+4），解得m=0或8故选：D6已知函数f（x）=sinx+cosx1（0），y=f（x）的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于，则y=f（x）的单
10、调递增区间是（）Ak，k+kZBk+，k+kZCk，k+kZDk+，k+kZ【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】根据f（x）的最小值得直线y=3与f（x）的图象两个相邻交点的距离等于一个周期，由此求出的值和函数f（x）解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx1=2sin（x+）1，所以f（x）的最小值为3，由y=f（x）的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于，可得函数f（x）的周期为T=，解得=2，所以函数解析式为f（x）=2sin（2x+）；令+2k2x+2k（kZ），可得+2k2x+2k（kZ），即+kx+k
11、（kZ），所以f（x）的单调增区间为k，k+（kZ）故选：C7下列函数中最小值为2的是（）Ay=log2x+logx2（0x1）By=Cy=ex+exDy=x+【考点】基本不等式【分析】A由0x1，可得：y=log2x+logx20，即可判断出正误By=+2，即可判断出正误Cy=2，即可判断出正误Dx0时，y0，最小值不可能是2【解答】解：A0x1，y=log2x+logx20，因此最小值不可能是2By=+2，因此最小值不可能是2Cy=2，当且仅当x=0时取等号，因此y的最小值为2，正确Dx0时，y0，最小值不可能是2综上可得：函数最小值为2的是C故选：C8垂直于直线y=x1且与圆x2+y2=
12、1相切于第三象限的直线方程为（）Ax+y=0Bx+y+1=0Cx+y1=0Dx+y+=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据两直线垂直求出所求切线的斜率，由此设出切线方程，利用圆心到直线的距离d=r，即可求出切线的方程，再验证是否满足条件即可【解答】解：设所求的直线为l，直线l垂直于直线y=x1，可得直线的斜率为k=1，设直线l方程为y=x+b，即x+yb=0，又直线l与圆x2+y2=1相切，圆心O（0，0）到直线l的距离d=1，解得b=当b=时，可得切点坐标（，），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；直线l与圆x2+y2=1的切点在第三象限，取b=，此时的直线方程
13、为x+y+=0故选：D9国庆节期间，滁州琅琊山公园举行免费游园一天活动，早晨6点30分有1人进入公园，接下来的第一个30分钟内有2人进去出来1人出来，第二个30分钟内有4人进去2人出来，第三个30分钟内有8人进去3人出来，第四个30分钟内有16人进去4人出来，按照这种规律进行下去，到上午11点公园内的人数是（）A2937B21046C21156D21267【考点】归纳推理【分析】先设每个30分钟进去的人数构成数列an，利用观察法求数列an的通项公式，求数列an的前11项和，由等比数列前n项和公式即可得上午11时公园内的人数【解答】解：设每个30分钟进去的人数构成数列an，则a1=1=10，a2
14、=21，a3=42，a4=83，a5=164an=2n1（n1）设数列an的前n项和为Sn依题意，到上午11点公园内的人数是此数列的前11项的和，所以s11=（10）+（21）+（222）+（233）+=（1+2+22+23+210）（1+2+10）=21156故选：C10已知实数x，y满足，则z=的取值范围是（）A0，B，2）C，D，+）【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化z=1+，由其几何意义（动点与定点连线的斜率）得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0）z=，的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，1）连线的斜率，z的取值范围为，+）故选：D11在ABC中
15、，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ABC三边a，b，c上的高分别为，则ABC为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不存在这样的三角形【考点】余弦定理【分析】由已知及三角形面积的求法可得=，设a=13k，b=11k，c=5k，k0，则a为最大边，利用余弦定理可求cosA0，结合A的范围，可得A为钝角，从而得解ABC为钝角三角形【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ABC三边a，b，c上的高分别为，=，可得： =，设a=13k，b=11k，c=5k，k0，则a为最大边，cosA=0，A（0，），A为钝角，则ABC为钝角三角形故选：C12如图，正方体ABCDA
16、1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC异面直线AE，BF所成的角为定值D三棱锥BAEF的体积为定值【考点】棱柱的结构特征【分析】A由正方体的性质可得：AC平面BDD1B1，可得BDBE，即可判断出正误B由EFBD，可得EF平面ABCD，即可判断出正误C当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是FBC1；当E在上底面的中心时，F在B1的位置，异面直线AE，BF所成的角是EAA1，即可判断出两个角不相等D三棱锥BAEF的体积=，即可判断出正误【解答】解：A由正方体的性质可得：AC平面BDD1
17、B1，BE平面BDD1B1，BDBE，因此A正确BEFBD，EF平面ABCD，BD平面ABCD，EF平面ABCD，因此B正确C当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是FBC1；当E在上底面的中心时，F在B1的位置，异面直线AE，BF所成的角是EAA1，显然两个角不相等，因此不是定值，不正确D三棱锥BAEF的体积=，为定值，因此正确故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13若直线x+my1=0与直线mx+y1=0平行，则m=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由题意知，两直线的斜率存在，由，求出 m值【解答】解：由题意知，两直线的斜
18、率存在，直线x+my1=0与直线mx+y1=0平行，m=1，故答案为：114设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为4【考点】等差数列的前n项和；等差数列【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且S410，S515，即，5+3d6+2d，d1a43+d3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：415一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为6【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从
19、俯视图构建直观图，该几何体为半圆柱【解答】解：由三视图可知，该几何体为半圆柱，其底面半径为2，高为3；则其体积为：223=6故答案为：616已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且B=，给出下列命题角A，B，C成等差数列；若a=2c，则ABC为钝角三角形；若a，b，c成等比数列，则ABC为等边三角形；若tanA+tan C+0，则ABC为锐角三角形；2=+，则3A=C其中正确命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】，结合内角和定理和等差数列的性质，容易求得结果；，利用正弦定理求出，A，C的大小进行判断；，根据等比数列的性质以及余弦定理建立方程关系进行判断；，利用两角和差的
20、正切公式进行化简判断，利用数量积的定义将条件变为三角形的边角关系，然后进行推理化简【解答】解：B=，A+C=2B，则角A，B，C成等差数列；故正确，若a=2c，则由正弦定理得=，即2sinC=sin（C）=cosC+sinC，即sinC=cosC，则tanC=，则C=，则B=，则ABC为直角三角形；故错误，若a，b，c成等比数列，则b2=ac，由cosB=，将该式子中的b2用ac替换，得，即a2+c2ac=ac，即（ac）2=0，则a=c，则该三角形为等边三角形，故正确；若tanA+tan C+0，由tanB=tan（A+C）=，整理得tan A+tan C+=0，则必有tanA0，tanC0
21、，故A，C都是锐角，故该三角形为锐角三角形，故正确，由2=+得c2=bccosA+accosB+abcosC，结合余弦定理可得c2=b2+a2，故C=90，得A=30，所以3A=C故正确；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=1+2sinxcosx2sin2x（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）解不等式：f（x）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式将f（x）转化为f（x）=sin（2x+），利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）由（1）可知：将不等式
22、转化为sin（2x+），根据正弦函数图象及性质即可求得不等式解决【解答】解：（1）f（x）=1+2sinxcosx2sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T=，函数f（x）的最小正周期；（2）f（x）即sin（2x+），由正弦函数图象及性质可知：2k+2x+2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，不等式f（x）解集为x丨kxk+，kZ18已知等差数列an前n项和为Sn，且Sn=n2（1）求通项公式an；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用Sn=n2，可得
23、a1=S1=1，a1+a2=4，解出即可得出（2）bn=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，Sn=n2，a1=S1=1，a1+a2=22=4，解得a1=1，a2=3d=a2a1=2，an=1+2（n1）=2n1（2）bn=，数列bn的前n项和Tn=+=19过点P（1，2）作直线l与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：（1）AOB面积的最小值及此时直线l的方程；（2）求|PA|PB|的最小值及此时直线l的方程【考点】直线的一般式方程【分析】（1）设AB的方程为=1（a0，b0），可得=1，利用基本不等式算出ab8，可得当且仅当a=2且b=4时，
24、AOB的面积S有最小值为4，进而算出此时的直线l方程；（2）求出|PA|，|PB|，利用二倍角的正弦公式算出|PA|PB|，由正弦函数的值域可得直线斜率为1，利用点斜式方程列式，化简可得直线l的方程【解答】解：（1）设直线AB的方程为=1（a0，b0），点P（1，2）在直线上，=1，由基本不等式1=2，当且仅当a=2且b=4时，等号成立，ab8，可得AOB的面积S=ab4，因此AOB的面积S的最小值为4，此时的直线方程为=1，即2x+y4=0；（2）设直线的倾斜角为，则|PA|=，|PB|=，|PA|PB|=当2=，即=时，|PA|PB|取最小值4，此时，直线的斜率为1，直线l的方程为y2=1
25、（x1），化为一般式可得x+y3=020已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，cccosA+csinAba=0（1）求角C的大小；（2）求y=sinA+sinB的取值范围【考点】正弦定理【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（C）=，又结合C（0，），即可求得角C的值；（2）转化sinA+sinB为A的正弦函数，根据A的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值【解答】解：（1）由已知及正弦定理可得：sinA+sinB=sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=，sinA+sin（A+C）=sinCsinA+sinCcosA3分整理可得：1+cosC=
26、sinC，即： sinCcosC=1，有：sin（C）=，6分又C（0，），C（，），C=，C=7分（2）sinA+sinB=sinA+sin（A）=sinA+sincosAcossinA=sinA+cosA=sin（A+）因为0A，所以A+所以sinA+sinB的取值范围为（，21如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD（图（2）（1）求证：平面EFG平面PAB；（2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC平面ADQ；（3）求三棱锥CEFG的体积【考点】棱柱、棱锥
27、、棱台的体积；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明EFAB利用直线与平面平行的判定定理证明EF平面PAB然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFG平面PAB（2）连接DE，EQ，证明PDAD，ADPC推出DEPC，利用直线与平面垂直的判定定理证明PC平面ADQ（3）利用等体积VCEFG=VGCEF，转化求解即可【解答】解：（1）证明：E、F分别是PC，PD的中点，EFCD又CDABEFABEF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB同理，EG平面PAB，EFEG=E，EF平面EFG，EG平面EFG平面EFG平面PAB （2）解：连接DE，EQ，E、Q分别是PC、P
28、B的中点，EQBC，又 BCADEQAD平面PDC平面ABCD，PDDC，PD平面ABCDPDAD，又ADDC，PDDC=DAD平面PDC，ADPC在PDC中，PD=CD，E是PC的中点，DEPC，DEAD=DPC平面ADEQ，即PC平面ADQ （3）VCEFG=VGCEF=SCEFGC=（11）1=22已知数列an、bn中，a1=1，an+1=3an+2n（nN*）bn=，数列bn前n项和为Tn（1）求证：an+2n是等比数列，并求an的通项公式；（2）若不等式（1）nTn+对一切nN*恒成立，求的取值范围（3）证明：对一切正整数n，有+【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）a
29、1=1，an+1=3an+2n（nN*），变形为an+1+2n+1=3（an+2n），a1+2=3，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由bn=利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得：Tn=4不等式（1）nTn+化为：（1）n4，通过分类讨论利用数列的单调性即可得出（3）3n=（2+1）n=2n+2+1，可得=（n2）再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出【解答】（1）证明：a1=1，an+1=3an+2n（nN*），an+1+2n+1=3（an+2n），a1+2=3an+2n是等比数列，公比为3，首项为3an+2n=3n，an=3n2n（2）解：bn=，数列bn前n项和为Tn=1+，Tn=+，Tn=1+=，Tn=4不等式（1）nTn+化为：（1）n4，当n=2k1（kN*）时，化为：4，2，解得2当n=2k（kN*）时，化为：4，32不等式（1）nTn+对一切nN*恒成立，23（3）证明：3n=（2+1）n=2n+2+1=（n2）对一切正整数n，有+1+=1+=对一切正整数n，有+2016年9月4日
