1、模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系为()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)0，所以f(x)g(x)2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，B60，那么角A等于()A135 B90C45 D30解析：选C由正弦定理知，sin A.又ab，B60，A0的解集为(，1)(m，)，则am()A1 B1C2 D3解析：选D由题意，知1，m是方程x23ax20的两个根，则由根与系数的关系，得解
2、得所以am3，故选D.4已知数列an为等差数列，且a12，a2a313，则a4a5a6等于()A40 B42C43 D45解析：选B设等差数列an的公差为d，则2a13d13，d3，故a4a5a63a112d3212342.5在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析：选B由余弦定理得AB242AB2cos 607，解得AB3或AB1(舍去)，设BC边上的高为x，由三角形面积关系得BCxABBCsin 60，解得x，故选B.6某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车
3、今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为()A16,8 B15,9C17,7 D14,10解析：选A设A工厂工作x小时，B工厂工作y小时，总工作时数为z，则目标函数为zxy，约束条件为作出可行域如图所示，由图知当直线l：yxz过Q点时，z最小，解方程组得Q(16,8)，故A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少7若log4(3x4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：选D由log4(3a4b)log2，得log2(3a4b)log2(ab)，所以3a4bab，即1.所以ab(ab)747，当且
4、仅当，即a24，b32时取等号，故选D.8定义maxa，b设实数x，y满足约束条件则zmax4xy,3xy的取值范围是()A8,10 B7,10C6,8 D7,8解析：选B做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示令4xy3xy，得x2y，当x2y时，z4xy；当x2y时，z3xy.在同一直角坐标系中作出直线x2y0的图象，如图所示当(x，y)在平面区域CDEF内运动时(含边界区域)，此时x2y，故z4xy，可知目标函数z4xy在D(2,2)时取到最大值10，在F(2，1)时取到最小值7；当(x，y)在平面区域ABCF内运动时(含边界区域但不含线段CF)，此时x2y，故z3xy，可知目标函数
5、z3xy在B(2，2)时取到最大值8，在F(2,1)时z3xy7，所以在此区域内70且xy2，则的最小值是_，此时x_，y_.解析：因为x，y0且xy2，由于(x2y)，令x2yt，则tx2y24，有t在4，)上单调递增，所以当t4时有最小值41，当且仅当x2，y1时取等号答案：121三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(14分)等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050.(1)求通项an；(2)若Sn242，求n.解：(1)设an的首项为a1，公差为d，则解得通项ana1(n1)d102n.(2)由Snna1d242，得12n224
6、2，解得n11，或n22(舍去)故n11.17(15分)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1,1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围解：(1)因为f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以2x2bxc0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x2bxc0的两个根，由根与系数的关系，知5，0，所以b10，c0，所以f(x)2x210x.(2)对任意的x1,1，f(x)t2恒成立等价于对任意的x1,1，2x210xt20恒成立设g(x)2x210xt2，则由二次函数的图象可知g(x)2x210xt2在区
7、间1,1上为减函数，所以g(x)maxg(1)10t，所以10t0，即t10，所以t的取值范围为(，1018(15分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.19(15分)在ABC中，BC6，点D在BC边上，且(2ACAB)cos ABCcos C.(1)求角A的大小；(2)若AD为ABC的中线，且AC2，求AD的长；(3)若AD为ABC的高，且AD3，求证：ABC为等边三角形解：(1)由(2ACAB
8、)cos ABCcos C及正弦定理，有(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，得2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin B，所以cos A.因为0A180，所以A60.(2)由正弦定理，得sin B. 因为AB180，所以B30，所以C90.因为D是BC的中点，所以DC3，由勾股定理，得AD.(3)证明：因为ADBCABACsin A，且AD3，BC6，sin A，所以ABAC36.因为BC2AB2AC22ABACcos A，所以AB2AC272，所以ABAC6BC，所以ABC为等边三角形20(15分)(全国丙卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解：(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.
