1、向量的数量积A级基础巩固1若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A60B120C30 D150解析：选A向量a与b的夹角与a与b的夹角相等，夹角为60.2设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于()A2 B1C1 D2解析：选B因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选B.3若向量a，b满足|b|2，a为单位向量，且a与b夹角为，则b在a上的投影向量为()A.a BaC2a D2a解析：选B|b|cos a2cos a2aa，即b在a上的投影向量为a.4(
2、多选)下列命题中，正确的是()A对于任意向量a，b，有|ab|a|b|B若ab0，则a0或b0C对于任意向量a，b，有|ab|a|b|D若a，b共线，则ab|a|b|解析：选ACD由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当ab时，ab0，故选项B错误；因为|ab|a|b|cos |a|b|，故选项C正确；当a，b共线同向时，ab|a|b|cos 0|a|b|，当a，b共线反向时，ab|a|b|cos 180|a|b|，所以选项D正确故选A、C、D.5已知平面上三点A，B，C，满足|3，|4，|5，则的值等于()A7 B7C25 D25解析：选D由条件知ABC90，原式0()225.6已知平面向量
3、a，b满足|a|，|b|2，ab3，则|a2b|_解析：根据题意，得|a2b| .答案：7已知等腰ABC的底边BC长为4，则_解析：如图，过点A作ADBC，垂足为D.因为ABAC，所以BDBC2，于是|cosABC|42.所以|cosABC248.答案：88已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_，a(ab)_.解析：由题意，设向量a，b的夹角为.因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32 cos 0，解得cos .又因为0，所以.则a(ab)|a|2|a|b|cos 32 6.答案：69已知|a|4，|b|3
4、，(2a3b)(2ab)61.(1)求ab的值；(2)求|ab|.解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.(2)由(1)，得|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.10.如图，在平面内将两块直角三角板拼接在一起，已知ABC45，BCD60，记a，b.(1)试用a，b表示向量，；(2)若|b|1，求.解：(1)由题意可知，ab，ACBD，BDBCAC.b，则ab，a(1)b.(2)|b|1，|a|，abcos 451，则aa(1)ba2(1)ab211.B级综合运用11定义：|ab|
5、a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|等于()A8 B8C8或8 D6解析：选Acos ，0，sin ，|ab|258.故选A.12(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设2a，b，则下列结论正确的是()A|ab|1 BabC(4ab)b Dab1解析：选CD分析知|a|1，|b|2，a与b的夹角是120，故B错误；(ab)2|a|22ab|b|23，|ab|，故A错误；(4ab)b4abb2412cos 12040，(4ab)b，故C正确；ab12cos 1201，故D正确13已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2
6、|a|，则向量a与c的夹角为_解析：由题意可画出图形，在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：9014如图，在OAB中 ，P为线段AB上一点，则xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60，求的值解：(1)若，则，故xy.(2)因为|4，|2，BOA60，所以OBA90，所以|2.又因为3，所以|.所以|，cosOPB.所以与的夹角的余弦值为.所以|cos 3.C级拓展探究15已知向量a，b，c满足|a|，|b|，ab5，cxa(1x)b.(1)若bc，求实数x的值；(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值解：(1)当bc时，bc0，即bcxab(1x)b20，5x5(1x)0，解得x.(2)c2x2a22x(1x)ab(1x)2b225x220x5251，当x时，|c|取最小值1，此时，cab.设向量a与c的夹角为，则ac|a|c|cos a1，解得cos ，故当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值为.