1、复习课(二)直接证明与间接证明合情推理(1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力(2)处理与归纳推理相关的类型及策略与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解与式有关：观察每个式的特点，找到规律后可解进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键1归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤典例(1)(陕西高考)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_(2)在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为
2、14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析(1)等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.(2)因为两个正三角形是相似三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.答案(1)1(2)18类题通法(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就
3、会犯机械类比的错误1观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.n2，S24，n3，S38，n4，S412，按此规律，推出Sn与n的关系式为_解析：依图的构造规律可以看出：S2244，S3344，S4444(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)答案：Sn4n4(n2，nN*)2在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 .答案：演绎推理(1)演绎推理在高
4、考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在，常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查(2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确典例已知f(x) ，数列an的前n项和为Sn，点Pn在曲线yf(x)上(nN*)，且a11，an0.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn(1)，nN*.解(1)f(an)，且an0，4(nN*)数列是等差数列，首项1，公差d4，14(n1)，a
5、.an0，an(nN*)(2)证明：an，Sna1a2an(1)()()(1)类题通法应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论常见的解题错误：(1)条件理解错误(小前提错)；(2)定理引入和应用错误(大前提错)；(3)推理过程错误等1已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系是.解析：当0af(n)，得mn.答案：m0，f(x)是R上的偶函数，求a的值解析：f(x)是R上的偶函数，f(x)f(x)，即，(exex)a0.0对一切xR恒成
6、立，a0，即a21.又a0，a1.综合法与分析法(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题1综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法2分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立典例
7、设a0，b0，ab1，求证：8.证明法一：综合法因为a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4，又(ab)24，所以8(当且仅当ab时等号成立)法二：分析法因为a0，b0，ab1，要证8.只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立类题通法综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述
8、合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件1已知a0，b0，如果不等式恒成立，那么m的最大值等于()A10B9C8 D7解析：选Ba0，b0，2ab0.不等式可化为m(2ab)52.52549，即其最小值为9，m9，即m的最大值等于9.2若abcd0且adbc，求证：.证明：要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立.反证法(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用
9、来证明解答题中的一问(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾1使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法典例(1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b
10、，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根解析(1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a
11、11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk(kN*)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN*，都有an.类题通法与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略(1)与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明(2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法1设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析：由(S11)2S得：S1；由
12、(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.答案： 2设数列an的前n项和Sn(nN*)，a22.(1)求an的前三项a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并证明解：(1)由Sn得a11，又由a22，得a33.(2)猜想：ann.证明如下：当n1时，猜想成立假设当nk(k2)时，猜想成立，即akk，那么当nk1时，ak1Sk1Sk.所以ak1k1，所以当nk1时，猜想也成立根据知，对任意nN*，都有ann.1用演绎推理证明函数yx3是增函数时的大前提是( )A增函数的定义B函数yx3满足增函数的定义C若x1x2，则f(x1)x2，则f(x1)f
13、(x2)解析：选A根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数yx3是增函数的大前提应是增函数的定义2数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2， a3，a4后，猜想an的表达式是( )Aan3n2Bann2Can3n1 Dan4n3解析：选B求得a24，a39，a416，猜想ann2.3在平面直角坐标系内，方程1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析：选A类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证4(山东高
14、考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”5公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10()A18 B24C60 D90解析：选C由aa3a7得(a13d)2(a12d)(a16d)，即2a13d0.再由S88a1d32，得2a17d8，则d2，a13.所以S1010a1d60，选C.6已知结论：
15、“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则()A1 B2C3 D47图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.解析：分别观察正方体的个数为：1,15,159，归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Snnn(n1)422n2n，所以S7272791.答案：918用数学归纳法证明：(n1)(n2)
16、(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时的等式左边的差等于_解析：当nk1时，左边(k2)(k3)(2k2)；当nk时，左边(k1)(k2)2k，其差为(2k1)(2k2)(k1)3k2.答案：3k29(全国卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片
17、上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和310设函数f(x)exln x，证明：f(x)1.证明：由题意知f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上
18、单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.11各项都为正数的数列an满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切nN*恒成立解：(1)aa2，数列a为首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)22n1，又an0，则an.(2)证明：由(1)知，即证1.当n1时，左边1，右边1，所以不等式成立当n2时，左边右边，所以不等式成立假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即1，当nk1时，左边1x，求实数a的取值范围；(3)已知a0，且
19、cn1f(cn)(n1,2，)，证明数列cn是单调递增数列解：(1)当a2时，f(x)x22xln(x1)，f(x)2x2.令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递增函数f(x)的极大值点为x，极小值点为x.(2)f(x)2xa，由f(x)x，得2xax，所以ax(0x1，a1.故所求实数a的取值范围为(，1(3)证明：(用数学归纳法证明)当n1时，c2f(c1)2c1a，c10，c111，又a2(a1)1a0，c2c1，即当n1时结论成立假设当nk(kN*，k1)时结论成立，即ck1ck0，当nk1时，ck2ck1ck1ack11(a1)2(a1)1a0.ck2ck1，即当nk1时结论成立由知数列cn是单调递增数列
