1、本章整合 同角三角函数的基本关系:sin2+cos2=1,tan=sincos和角公式 cos(+)=coscos-sinsinsin(+)=sincos+cossintan(+)=tan+tan1-tantan差角公式 cos(-)=coscos+sinsinsin(-)=sincos-cossintan(-)=tan-tan1+tantan三角恒等变形 二倍角公式 cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2sin2=2sincostan2=2tan1-tan2半角公式 sin2=1-cos2cos2=1+cos2tan2=sin 2cos2=1-cos1+cos=sin1
2、+cos=1-cossin三角恒等变形专题1 专题2 专题3 专题1 三角函数与向量的综合三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点,常常包括向量与三角函数的化简、求值与证明的结合,向量与三角函数的图像及性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础,所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质以及三角函数的化简、求值.专题1 专题2 专题3(1)求ab及|a+b|;(2)若函数f(x)=ab-2|a+b|的最小值是求实数的值.提示:(1)根据向量的数量积运算列式,用二倍角公式化简求解;(2)把(1)所得结果代入函数f(x),并利用二倍角公式化简,再对分类讨论.-32,应用 1
3、 已知向量 a=cos 32,sin 32 ,b=cos 2,-sin2,且 2,.解(1)ab=cos 32cos 2 sin 32sin 2=cos 2x,|a+b|2=cos 32+cos 2 2+sin 32-sin 2 2=2+2cos 2x=2+2(2cos2x-1)=2+4cos2x-2=4cos2x,因为 x 2,所以cos x0,所以|a+b|=-2cos x.专题1 专题2 专题3(2)由(1),得 f(x)=cos 2x-2(-2cos x)=cos 2x+4cosx=2cos2x+4cos x-1=2(cos x+)2-1-22.因为 x 2,所以-1cos x0,所以
4、,若 1,则当 cos x=-1 时,f(x)min=1-4.所以 1-4=32,则=58,不满足1,故舍去.综上所述,=12.专题1 专题2 专题3 应用 2 已知点 A,B,C 的坐标分别为(3,0),(0,3),(cos,sin),2,32 .(1)若|=|,求角的值;(2)若 =1,求 2sin2+sin21+tan的值.提示将条件中的模相等和数量积转化为三角函数进行求解.专题1 专题2 专题3 解(1)=(cos-3,sin),=(cos,sin-3),|=(cos-3)2+sin2=10-6cos,|=cos2+(sin-3)2=10-6sin.又|=|,sin=cos.又 2,3
5、2 ,=54.专题1 专题2 专题3(2)=1,又由(1)知,=(cos-3,sin),=(cos,sin-3),(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1.sin+cos=23.又 2sin2+sin21+tan=2sin(sin+cos)1+sin cos=2sin cos,由式两边平方,得 1+2sin cos=49,2sin cos=59,2sin2+sin21+tan=59.专题1 专题2 专题3 专题2 三角函数的最值 三角函数的最值是对三角函数的概念、图像和性质以及对诱导公式、同角三角函数间的基本关系、两角和差、倍(半)角三角函数公式的综合考查,也是函数思想的具体体现,在实
6、际问题中有着广泛的应用,是高考命题的热点.解三角函数最值问题的基本方法:一是先通过三角恒等变形转化为只含一个角的一种三角函数的式子,应用正弦函数、余弦函数的值域来求;二是通过变量代换转化为函数关系式,再选用配方法、不等式法、判别式法、单调性法、数形结合法等求解.专题1 专题2 专题3 解析:f(x)=sin x+3cos x=2sin +3,又 2x2,6x+3 56.当 x=6 时,f(x)max=2;当 x=2 时,f(x)min=-1.答案:D 1.y=asin x+bcos x 型函数此类函数可化为 y=2+2sin(+)的形式,其中 tan =.应用 1 当2x2 时,函数()=si
7、n +3cos 的()A.最大值是 1,最小值是-1B.最大值是 1,最小值是12C.最大值是 2,最小值是-2D.最大值是 2,最小值是-1专题1 专题2 专题3 2.y=asin2x+bsin x+c型函数可将y=asin2x+bsin x+c中的sin x看作t,即令t=sin x,则y=at2+bt+c,这样就转化为二次函数的最值问题.但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变,即要根据给定的x的取值范围,求出t的取值范围.另外,y=acos2x+bcos x+c,y=asin2x+bcos x+c等形式的函数的最值都可归为此类.专题1 专题2 专题3 应用 2 设 x-6,23 ,
8、求函数=4sin2 12sin 1 的最值.提示利用换元法,转化为二次函数求解.解:令 t=sin x,因为 x-6,23 ,所以 t-12,1.y=4t2-12t-1=4 -32 2 10,因为当 t-12,1 时,函数是减少的,所以当 t=12,即x=6 时,ymax=6;当 t=1,即 x=2 时,ymin=-9.专题1 专题2 专题3 3.y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x型函数此类函数可先降幂、整理,再化为y=asin x+bcos x的形式求最值.应用3求y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小值,并求出函数y取最小值时的x的集合.提示:求这种
9、类型的三角函数的最值问题时,应先降幂,再利用公式化成和角或差角的三角函数求最值.解:y=(sin2x+cos2x)+2sin xcos x+2cos2x=1+sin 2x+1+cos 2x=sin 2x+cos 2x+2=2sin 2+4+2.当 2x+4=2 2(Z),即 x=k38(Z)时,y 取最小值 2 2,所以使y 取最小值的 x 的集合为 =-38,.专题1 专题2 专题3 4.sin xcos x,sin xcos x型函数应用4求函数y=sin xcos x+sin x+cos x的最大值.提示:设t=sin x+cos x,换元转化为关于t的二次函数,用配方法求最值,要注意变
10、量t的取值范围.解:令 t=sin x+cos x,则|t|2,sin xcos x=2-12,则 y=12(t2-1)+t=12(t+1)2-1.所以当 t=2时,ymax=12(2+1)2-1=12+2.专题1 专题2 专题3 专题3 函数与方程思想的应用 函数思想是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题.方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,构建方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析问题、转化问题,使问题获得解决.函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,
11、解有关求值、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题常用函数的方法解决.专题1 专题2 专题3 提示将sin(+)和sin(-)展开,求出sin cos 与cos sin 的值,再将所求的式子化简即可.应用 1 已知 sin(+)=12,sin()=13,求tan(+)-tan-tantan2tan(+)的值.解由 sin(+)=12,sin(-)=13,得 sincos+cossin=12,sincos-cossin=13,解得 sincos=512,cossin=112
12、,所以 tan(+)-tan-tantan2tan(+)=tan(+)-tan(+)(1-tantan)tan2tan(+)=tantan=sincoscossin=5.专题1 专题2 专题3 提示关键要抓住奇函数和递减这两个关键信息解题.应用 2 已知 f(x)是定义在 R 上递减的奇函数,且当 0,2 时,恒有(cos2 2)+(4sin 3)0 成立,求 t 的取值范围.专题1 专题2 专题3 解f(x)在R上为递减的奇函数,f(cos2-2t)-f(4sin-3)=f(3-4sin).cos2-2t3-4sin,即2tcos2+4sin-3=-(sin-2)2+2.t12(sin-2)
13、2+1.令=12(sin-2)2+1.0,2,sin 0,1.又当 sin 0,1时,随着 sin 的增加而逐渐增加,max=12 (1 2)2+1=12.t12,即t 的取值范围是 12,+.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(2018全国高考)已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点 A(1,a),B(2,b),且 cos 2=23,则|=()A.15 B.55 C.2 55 D.1解析:因为 cos 2=2cos2-1=23,所以cos2=56,sin2=16.所以tan2=15,tan=55.由于 a,b 的正负性相同,不妨设 tan 0,即 tan=55,由
14、三角函数定义得a=55,=2 55,故|a-b|=55.答案:B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2(2018全国高考)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4 解析:因为 f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=31+cos2 2+1=32 cos 2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为22=,当cos 2x=1时,f(x)max=4.答案:B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3(
15、2018全国高考)函数 f(x)=tan 1+tan2 的最小正周期为()A.4 B.2 C.D.2解析:f(x)=tan 1+tan2=sin cos 1+si n2co s2=sin cos cos2+sin2=12 sin 2x,f(x)的最小正周期是,故选C.答案:C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4(2017全国高考)已知 sin-cos=43,则 sin 2=()A.79 B.29 C.29 D.79解析:sin 2=2sin cos=(sin-cos)2-1-1=79.故选A.答案:A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5(2018全国高考)已知 tan -54 =15,
16、则 tan =_.解析:tan -54 =tan-tan 541+tan tan 54=tan-11+tan =15,5tan-5=1+tan.tan=32.答案:321 2 3 4 5 6 7 8 9 6(2017江苏高考)若 tan -4=16,则 tan =_.解析:方法一:tan=tan -4+4=tan -4+tan 41-tan -4 tan 4=16+11-16 1=75.方法二:因为 tan -4=tan-tan 41+tan tan 4=tan-11+tan =16,所以tan=75,答案为75.答案:751 2 3 4 5 6 7 8 9 7(2017全国高考)已知 0,2
17、,tan =2,则 cos-4=_.解析:由 tan=2,得 sin=2cos.又 sin2+cos2=1,所以 cos2=15.因为 0,2,所以cos=55,sin =2 55.因为 cos -4=cos cos4+sin sin4,所以 cos -4=55 22+2 55 22=3 1010.答案:3 10101 2 3 4 5 6 7 8 9 8(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点 -35,-45.(1)求 sin(+)的值;(2)若角 满足 sin(+)=513,求 cos 的值.解:(1)由角 的终边过点 -35,-45,得 sin=
18、45,所以sin(+)=-sin=45.(2)由角 的终边过点 -35,-45,得cos=35,由sin(+)=513,得cos(+)=1213.由=(+)-,得 cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以 cos=5665 或cos=1665.1 2 3 4 5 6 7 8 9 9(2017北京高考)已知函数 f(x)=3cos 2-3 2sin cos.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x-4,4 时,()12.(1)解:f(x)=32 cos 2x+32 sin 2x-sin 2x=12 sin 2x+32 cos 2x=sin 2+3.所以 f(x)的最小正周期 T=22=.(2)证明:因为 4x4,所以 62x+3 56.所以 sin 2+3 sin -6=12.所以当 x-4,4 时,f(x)12.
