1、第二章 函 数第4讲 函数的概念、解析式与定义域【学习目标】1了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域2在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用【基础检测】1函数 ylg（x1）x1的定义域是()A(1，)B1，)C(1，1)(1，)D1，1)(1，)【解析】要使函数有意义，则x10，x10，解得 x1 且 x1，即函数定义域为(1，1)(1，)C2a、b 为实数，集合 Mba，1，Na，0，f：x2x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x，则 ab()A2 B0 C2 D2【解析】
2、由于 M 中元素ba只能对应 0，1 只能对应a.所以2ba 0，a2，即 b0，a2，因此 ab2，故选 C.C3已知函数是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，则函数 f(x)的解析式为f(x)12x232x2【解析】设 f(x)ax2bxc(a0)由 f(0)2，得 c2.由 f(x1)f(x)x1，即 a(x1)2b(x1)2(ax2bx2)x1，得(2a1)xab10.上式恒成立，则2a10，ab10，得a12，b32.故 f(x)12x232x2.4设函数 f(x)x22x2，x0，x2，x0.若 f(f(a)2，则 a.2【解析】分段求分段函数的函数值，注意分类讨论思想
3、的应用 若 a0，则 f(a)a20，f(f(a)a42a222，得 a 2.若 a0，则 f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解【知识要点】1函数的概念设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个，记作：，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的，f(x)|xAB.唯一函数yf(x)，xA定义域值域2函数的特点函数是一种
4、特殊的映射，它是由一个到另一个_的映射；函数包括定义域、值域和对应法则 f，简称函数的_；如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据3函数的表示法函数的表示法：非空数集非空数集三要素定义域解析法、列表法、图象法对应关系4分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是_个函数分段函数并集并集一5映射的概念设 A、B 是两个集合，如果按照某种对
5、应关系 f，对于集合 A 中的元素，在集合 B 中都有的元素和它对应，那么这样的(包括集合 A、B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B的映射，记作：“”任何一个唯一对应f：AB一、映射与函数的概念例1已知映射 f：AB，其中 ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数 kB 在集合 A 中存在两个 不 同 的 元 素 与 它 对 应，则k的 取 值 范 围是k(，1)【解析】yx22x，y(，1由二次函数图象可知：当 k1 时，直线 yk 与 yx22x 无交点 故应填 k(，1)【点评】对于映射 f：AB 的理解要抓住以下三点：(1)集合 A、B 及对应法则
6、f 是确定的，是一个整体，是一个系统；(2)对应法则 f 具有方向性，即强调从集合 A 到集合B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系是不同的；(3)对于 A 中的任意元素 a，在 B 中有唯一元素 b 与之相对应其重点在“任意”、“唯一”两词上集合B 中的元素可以没有原象二、函数的定义域例2(1)函数 y ln（x1）x23x4的定义域是；(2)若 f(x)1log12（2x1），则 f(x)的定义域为()A.12，0B.12，0C.12，D(0，)(3)若函数 f(x)x4mx24mx3的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是(-1,1)0，34A【解析】(1)由x10，x23x40，解
7、得x1，4x1，故1x0 得 02x11，解得12x0，即 f(x)的定义域为12，0.(3)当 m0 时，mx24mx30 对 xR 恒成立；当 m0 时，由于 f(x)的定义域为 R 可知，对xR，mx24mx30 恒成立，从而 16m212m0，得 0m0)，f(g(x)4x220 x25，(axb)24x220 x25，即 a2x22abxb24x220 x25，a2，b5，g(x)2x5.(2)令 t x1，则 x(t1)2 代入已知表达式可得 f(t)t22t(t1)即 f(x)x22x(x1)例42013 年 5 月 1 日，王兵买了一辆别克新凯越 1.6 L 手动挡的家庭轿车，
8、该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：10.40 L/100 km；市郊工况：6.60 L/100 km；综合工况：8.00 L/100 km.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为 10 000 km，汽油价格按平均价格 7.50 元/L来计算，当年行驶里程为 x km 时，燃油费为 y 元(1)判断 y 是否是关于 x 的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式；(2)王兵一年的燃油费估计是多少？(1)y 是关于 x 的函数 函数的定义域是0，10 000，函数解析式为 y8 x1007.500.60 x.(2)当 x10 000 时，y0.6010 0006 000，所以王兵一年的燃油费估计是
9、 6 000 元 【点评】根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、凑配法、赋值法、解方程组法等(1)当所求函数的解析式的形式已知(如二次函数、指数函数等)，常用待定系数法(2)分段函数的解析式必须分段考虑，其次注意实际问题中的自变量取值有意义的条件 例4对于函数 f(x)，xR，若 f(x)x 则称 x 为 f(x)的“不动点”，若f(f(x)x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A和 B.(1)求证：AB；(2)若 f(x)ax21(aR)，且 AB，求实数 a的取值范围【解析】(1)y 是关于 x 的函数 函数的定义域是0，10
10、000，函数解析式为 y8 x1007.500.60 x.(2)当 x10 000 时，y0.6010 0006 000，所以王兵一年的燃油费估计是 6 000 元【点评】根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、凑配法、赋值法、解方程组法等(1)当所求函数的解析式的形式已知(如二次函数、指数函数等)，常用待定系数法(2)分段函数的解析式必须分段考虑，其次注意实际问题中的自变量取值有意义的条件1函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值的集合，也就是：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数的真数必须大于零；(4)ax与 logax 中，a0 且 a1；(
11、5)ytan x 中，xk 2(kZ)等在实际问题中还要注意要有实际意义2与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决3求函数的解析式的常用方法有：待定系数法、换元法、凑配法、函数方程法、赋值法等当已知函数类型时，常用待定系数法，复合函数问题常用换元法或凑配法，抽象函数问题常用赋值法或函数方程法4解决抽象函数问题，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法1(2014 山东)函数 f(x)1log2x1的定义域为()A.0，12B(2，)C.0，12(2，)D.0，12(2，)【解析】由(log2x)210log2x1 或
12、 log2x2 或 0 x0，对应关系 f：对 M 中的三角形求面积，与 N 中元素的对应A1 B2 C3 D0A2函数 ylg（x1）lg（x1）的定义域是()A(1，)B(1，)C(1，2)(2，)D(1，2)(2，)D【解析】要使函数有意义，则x10，x10 x11，解得 x1且 x2，即函数定义域为(1，2)(2，)3函数 f(x)12x1x3的定义域为()A(3，0 B(3，1C(，3)(3，0 D(，3)(3，1A【解析】要使函数有意义，需12x0，x30，解得30.则 f43 的值为()A32 B.12C12 D.32D5如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(
13、相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ay12x312x2xBy12x312x23xCy14x3xDy14x312x22xA【解析】A 选项中，yf(x)32x2x1，f(0)1，f(2)3.曲线在(0，0)和(2，0)处分别与直线 yx，y3x6 相切，且在0，1 73上单调递减，在1 73，2 上单调递增，符合题意对 B、C、D 选项可验证曲线在(0，0)或(2，0)处不与直线 yx，y3x6相切故选 A.6设函数 f(x)ex1，x1，x13 x1，则使得 f(x)2 成立的x 的取值范围是x|x8【解析】当 x1 时，ex11，则 ex12，x4 时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8；当乙的用水量超过 4 吨时，即 3x4，y24x9.6，y14.4x 0 x4520.4x4.8 4543.(2)由于 yf(x)在各段区间上均为单调递增，当 x0，45 时，yf45 26.4；当 x45，43 时，yf43 26.4；当 x43，时，令 24x9.626.4，解得 x1.5.甲户用水量为 5x7.5 吨，付费 S141.803.53.0017.70(元)；乙户用水量为 3x4.5 吨，付费 S241.800.53.008.70(元)
