1、第二讲 证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法A级基础巩固一、选择题1用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是()A.B. C. ，且 D. 或解析：应假设，即或.答案：D2实数a，b，c不全为0的等价命题为()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0答案：D3对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的命题个数是()A0 B1C2 D3解析：对于，若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与已知矛
2、盾，故对；对于，当ab与ab及ac都不成立时，有abc，不符合题意，故对；对于，显然不正确答案：C 4设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于2解析：因为abcxyz2226，当且仅当xyz1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5若a，b，cR，且abc1，设M，N(ac)(ab)，则()AMN BMNCMN DMN解析：依题设，1a，1b，1c均大于0，又abc1，所以(1a)(1b)(1c)，所以(1a)(1b)(1c)，从而(1b)(1c)(ac)(ab)，所以MN，当且仅当ab
3、c时，等号成立答案：A二、填空题6某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|，那么它的假设应该是_答案：假设|f(x1)f(x2)|7lg 9lg 11与1的大小关系是_解析：因为1，所以lg 9lg 111.答案：lg 9lg 1118设M，则M与1的大小关系为_解析：因为2101210，2102210，2111210，所以M,210个1.答案：M1三、解答题9已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明：(反证法)设2，2，则由式可得
4、2xy2(xy)，即xy2，与题设矛盾所以，中至少有一个小于2.10设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明：由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立B级能力提升1若a0，b0，满足ab1ab，那么()Aab有最小值22Bab有最大值(1)2Cab有最大值1Dab有最小值22解析：1abab，所以(ab)24(ab)40，解得ab22或ab22，因为a0，b0，所以ab22
5、.答案：A2设x，y，z，t满足1xyzt100，则的最小值为_解析：因为，且，所以2 ，当且仅当x1，yz10，t100时，等号成立答案：3已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.解：(1)因为f(x)|x|x1|x(x1)|1，当且仅当0x1时取等号，所以f(x)|x|x1|的最小值为1.要使f(x)|m1|恒成立，只需|m1|1，所以0m2，则m的最大值M2.(2)证明：由(1)知，a2b22，由a2b22ab，知ab1.又ab2，则(ab)2ab.由知，1.故ab2ab.
