1、函数的单调性A级基础巩固1已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则f(x)在(a，b)上()A单调递增B单调递减C先单调递减再单调递增D先单调递增再单调递减解析：选B若(x1x2)f(x1)f(x2)0，则或即当x1f(x2)或当x1x2时，f(x1)f(x2)不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上单调递减2已知函数yf(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()Ay在R上为减函数By|f(x)|在R上为增函数Cyf(x)2在R上为增函数Dyf(x)在R上为减函数解析：选D由函数yf(x)在R上为增函数，可设yf(
2、x)x.对于A，y，定义域为x|x0，不满足在R上为减函数，所以A错误对于B，y|f(x)|x|，在区间(，0上单调递减，在区间0，)上单调递增，所以不满足在R上为增函数，所以B错误对于C，yf(x)2x2，在区间(，0上单调递减，在区间0，)上单调递增，所以不满足R上为增函数，所以C错误对于D，若函数yf(x)在R上为增函数，则对任意的x1，x2R，且x1x2时，都满足f(x1)0，即yf(x)为R上的减函数故选D.3设函数f(x)在(，)上是减函数，则()Af(a)f(2a)Bf(a21)f(a2)Cf(a2a)f(a) Df(a2)a2，且f(x)在(，)上是减函数，f(a21)1的解集
3、为()A(1，1) B(，1)(1，)C(1，3) D(，1)(3，)解析：选D据题意可知f(0)1，f(2)1.f(x)是R上的单调函数，f(x)在R上单调递减由|f(x1)|1得，f(x1)f(0)x12或x13或x1.原不等式的解集为(，1)(3，)故选D.6函数f(x)的单调递增区间为_解析：画出函数图象如图所示，由图象可知，f(x)在(，)上是增函数，即f(x)的单调递增区间为(，)答案：(，)7函数f(x)在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：f(x)a，依题意有12a.答案：8f(x)在(，)上是减函数，则实数a的取值范围是_解析：因为f(x)为R上的减函数，所以
4、当x1时，f(x)单调递减，即a41时，f(x)单调递减，即a0，且(a4)152a，联立，解得00)的单调性解：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2).(*)当x1，x2(0，)时，0x1x2p，x1x20，所以f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，)上是减函数；当x1，x2，)时，x1x2p，x1x20，所以(*)式小于0，即f(x1)f(x2)0，所以f(x1)0)在(，和，)上是增函数，在(，0)和(0，)上是减函数10.已知函数f(x)的图象如图所示(1)根据函数的图象，写出f(x)的单调区间；(2)若f(x)在a1，a1上单调递增，
5、求实数a的取值范围解：(1)由函数图象得f(x)在(，1和2，)上单调递增；f(x)在(1，2)上单调递减(2)因为f(x)在a1，a1上单调递增，所以a11或a12，解得a2或a3.故实数a的取值范围为(，23，)B级综合运用11(多选)使函数f(x)ax22x1在区间1，2上单调递增的一个条件是()A0a1 D1af(0)，解得a0.又因为f(x)的图象的对称轴为x2，所以f(x)在区间0，2上的值域与在区间2，4上的值域相同所以满足f(m)f(0)的m的取值范围是0m4.13若函数f(x)x22(a1)x2在区间(1，4)上不是单调函数，那么实数a的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2
6、2(a1)x2在区间(1，4)上不是单调函数，函数图象的对称轴为直线xa1，所以1a14，所以2af(m2)，求m的取值范围解：(1)f(x)3，f(x)在(2，)上单调递减，证明如下：任取x1，x2(2，)，且x2x22，所以x120，x220，x2x10，所以f(x1)f(m2)得，解得1m，所以m的取值范围为(1，)C级拓展探究15已知函数f(x)，g(x)在数集D上都有定义，对于任意的x1，x2D，当x1x2时，g(x1)g(x2)或g(x2)g(x1)成立，则称g(x)是数集D上f(x)的限制函数(1)试判断函数g(x)是否是函数f(x)在D(0，)上的限制函数；(2)设g(x)是f
7、(x)在区间D1(D1D)上的限制函数且g(x)在区间D1上的值恒正，求证：函数f(x)在区间D1上是增函数；(3)设f(x)x22，试写出函数f(x)在D(0，)上的限制函数，并利用(2)的结论，求f(x)在D(0，)上的单调区间解：(1)对任意0x1x2，因为，所以g(x)是f(x)在D(0，)上的限制函数(2)证明：对于任意的x1，x2D1D，当x10，g(x2)0，由于g(x1)g(x2)或g(x2)g(x1)成立，所以0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在D1上是增函数(3)设0x1x2，则x1x2，所以2x10，解得x，因而当x时，g(x)0，f(x)递增，即f(x)的单调递增区间是；当x时，g(x)0，f(x)递减，即f(x)的单调递减区间是.