1、三十两条直线所成的角、直线与平面所成的角 (15分钟30分)1设两条直线所成角为(为锐角)，则两直线方向向量的夹角与()A相等 B互补C互余 D相等或互补【解析】选D.两直线方向向量的夹角与可能相等，可能互补，取决于向量的方向2若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为，AB1，则直线AB1与CD1所成的角为()A30 B45 C60 D90【解析】选C.因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为，AB1，所以AA1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，)，C(0，1，0)，D1(0，0，)，(0，1，)，(0，1，)，设直
2、线AB1与CD1所成的角为，则cos ，又090，所以60，所以直线AB1与CD1所成的角为60.3已知平面的一个法向量n，A，P，且，则直线PA与平面所成的角为_.【解析】设直线PA与平面所成的角为，则sin ，所以直线PA与平面所成的角为.答案：4已知平面的一个法向量为n(1，1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为_.【解析】y轴的一个方向向量s(0，1，0)，cos n，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.答案：5如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值【解析】如图所示
3、，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1，0)，B(，0，0)，C1(0，1，)，D.易知(，1，0)，(0，2，)，.设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy，故可取n(1，).所以，|cos n，|.由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1若平面的一个法向量n(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a(1，2，3)，则l与平面所成角的正弦值为()A B C D【解析】选A.cos a，n，所以l与平面所成角的正弦值为.2(2021衡水高二检
4、测)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A. B C D【解析】选C.如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.由于ABBCAA1，不妨取AB2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2).所以(0，1，1)，BC1(2，0，2)，所以cos ，所以异面直线EF和BC1的夹角为.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B C D【解析】选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D
5、(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以(2，0，1).连接AC，易证AC平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2，2，0).所以所求角的正弦值为|cos a，|.4如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4.则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为()A. B C D【解析】选B.由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则ACBD，连接PQ，则PQ过点O，由正四棱锥的性质知PQ平面ABCD，故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
6、则P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，2)，B(0，2，0)，所以(2，0，2)，(0，2，1).于是cos ，所以异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，则()AAC1与底面ABC所成角的正弦值为BAC1与底面ABC所成角的正弦值为CAC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为DAC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为【解析】选BC.如图，取A1C1的中点E，AC的中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z
7、轴建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，则AA12，所以A1(0，1，0)，C1(0，1，0)，A(0，1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0)，所以.底面ABC的一个法向量为m，所以AC1与底面ABC所成角的正弦值为，故A错B对设A1B1的中点为K，因为A1B1的中点K的坐标为，所以侧面AA1B1B的一个法向量为，所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为，故C对D错6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若棱长为1，点E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论正确的是()ADB1平面ACD1B平面A1C1B平面ACD1C点F到平面ACD1的距离为定值D直线AE与平面BB1D1
8、D所成角的正弦值为定值【解析】选ABC.以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，设E，设，即，所以E，设F，即，所以F.对于A，因为，所以，所以DB1AC，DB1AD1.又AC，AD1平面ACD1，ACAD1A，所以DB1平面ACD1，A正确；对于B，因为DB1平面ACD1，所以为平面ACD1的一个法向量，因为，所以，所以DB1A1C1，DB1A1B，又A1C1，A1B平面A1C1B，A1C1A1BA1，所以DB1平面A1C1B，所以平面A1C1B平面ACD1，B正确；对于C，因为，所以点F到平面ACD1的距离d，为定值，C正确；对于D，因
9、为几何体为正方体，所以AC平面BB1D1D，所以是平面BB1D1D的一个法向量，又，设直线AE与平面BB1D1D所成角为，则sin ，不是定值，D错误三、填空题(每小题5分，共10分)7已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是_.【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，所以M，因此，设平面PCO的一个法向量为n(x，y，z)，所以所以所以取n(2，1，0)，因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是.答案：8如图，已知四棱
10、锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点则PE与BC所成的角为_；若APBADB60，则直线PA与平面PEH所成角的正弦值为_【解析】以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0).(1)设C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m0)，则D(0，m，0)，E.可得，(m，1，0).因为00，所以PEBC，所以它们所成的角为90.(2)由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0，0，1).设a(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取a(1，0)
11、.由(1，0，1)可得|cos ，a|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.答案：90四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，M是PD上一点，且BMPD.求异面直线PB与CM所成角的余弦值的大小【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，P，则，设(01)，则，所以，由BMPD知01640，所以，M为PD中点，所以M，cos ，.所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为.10在三棱锥ABCD中，BACBDC60，平面ABC平面BCD，当三棱锥ABC
12、D的体积取最大值时，求AB与CD所成角的余弦值【解析】设A到平面BCD的距离为h1，D到平面ABC的距离为h2，又在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，所以VABCDh1h2BCh1h2BC，又因为BACBDC60，考虑圆的一条弦对的圆周角相等，当两边相等时顶点到底边距离最大由题意可知，当ABAC，BDCD时，三棱锥ABCD的体积最大，此时，ABC与BDC是等边三角形，如图所示取BC的中点为O，连接AO，DO，则AOBC，DOBC；又平面ABC平面BCD，则AO，DO，BC两两互相垂直，设O为坐标原点，OD，OC，OA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC2a，则
13、A，B，C，D，则，所以cos ，即AB与CD所成角的余弦值为.【创新迁移】一副标准的三角板(如图1)中，ABC为直角，A60，DEF为直角，DEEF，BCDF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥(如图2).设M是AC的中点，N是BC的中点(1)求证：平面ABC平面EMN；(2)设平面ABE平面MNEl，求证：lAB.(3)若AC4且二面角EBCA为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值【解析】(1)因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以MNAB，因为ABBC，所以MNBC，因为BEEC，BEEC，N是BC的中点，所以ENBC，因为MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，所以BC平
14、面EMN，又BC平面ABC，所以平面ABC平面EMN.(2)因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以MNAB，因为MN平面EMN，AB平面EMN，所以AB平面EMN，因为平面ABE平面MNEl，所以l平面EMN，且l平面ABE，AB与l无交点，所以ABl.(3)由(1)知ENBC，MNBC，所以ENM是二面角EBCA的平面角，因为二面角EBCA是直二面角，所以ENM90，以MN，NC，NE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为AC4，所以AB2，BC2，NE，所以E(0，0，)，M(1，0，0)，B(0，0)，A(2，0)，所以(1，0，)，(0，)，(2，0，0)，设平面ABE的一个法向量m(x，y，z)，则，取y1，得m(0，1，1)，设直线EM与平面ABE所成角为，则sin .所以直线EM与平面ABE所成角的正弦值为.