1、泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 1 页（共 3 页）泉州市 2022 届高中毕业班质量监测（一）2021.08数学参考答案及评分细则（第 22 题）22（12 分）已知函数 ln1xfxax.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若2112xxexex(e 是自然对数的底数)，且12120,0 xxxx，证明：22122xx.【命题意图】本小题主要考查运用导函数求单调性、对数运算性质、函数极值点偏移、不等式放缩、基本不等式等基础知识；考查抽象概括、推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学思想；体现综合性、应用性与创新性，导向对发展逻辑推理、
2、数学运算、数学抽象、数学建模等核心素养的关注鉴于高三复习前测特点，适当提高试题前半部分基础性应用的分值分配比例.【试题简析】（1）由 2ln xfxax，.1分令 0fx，得1x，.2分当0a 时,若0,1x时，0fx；若1,x 时，0fx.3 分所以()f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减.4分当0a 时,若0,1x时，0fx；若1,x 时，0fx.所以()f x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增.5分综上,当0a 时,()f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减；当0a 时,()f x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增.（2）证明：由2112xxexex，两边取
3、对数，得2112lnlnxexxex（）（），.6分即2112ln1ln1xxxx，所以1212ln1ln1xxxx，保密启用用前泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 2 页（共 3 页）此即当1a 时，存在12120,0 xxxx，满足 12fxfx.解法 1：由（1）可知，当1a 时,()f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减，不妨令12xx，所以120,1,1,xx.7分若22,x ，则22212224xxx显然成立.8 分【注：亦可讨论，2,2x，则2221222xxx.】【强化特例、容易优先原则】若21,2x，则220,1x，记 ln 2ln112,0122
4、xxg xfxfxxxxxx，所以 222222ln11ln 2ln 2lnln02xxxxxgxxxxxx ，.9分所以 g x 在0,1 上单调递增，所以 10g xg，即 2fxfx，所以 1122fxfxfx.10分因为10,1x，所以121x,又21x ，()f x 在1,上单调递减，所以122xx，即122xx.11分又2222111222212,2211xxx xxx ，以上两式左右两端分别相加，得221212211xxxx，即221212222xxxx.12分综合，证得22122xx.解法 2：由（1）可知，当1a 时,()f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减，所以(
5、)(1)1f xf.当1,x 时,ln10 xfxx；由于10fe，故()f x 在,11e上恒有()0f x.7分不妨令12xx，记 12fxfxm,则0,1m，且11ln1xmx,22ln1xmx,以上两式相减得,2211ln xm xxx，泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 3 页（共 3 页）记21xtx，由12xx，知1,t ,1ln1xtm t,2ln1xttm t,故121ln1xxttm t.8分记 21ln11m tg tttt,22141tmg tt t,.9分又214t,44m,所以 0g t.10分所以()g t 在1,上单调递增,所以()(1)0g tg,所以21ln01m ttt,可知121ln21xxttm t.11分即2221212)4222xxxx（.12分
