1、一空间向量的概念及其线性运算 (15分钟30分)1下列命题中为真命题的是()A向量与的长度相等B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等【解析】选A.对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等2空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则()A2 B3C3 D2【解析】选B.23.3如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，a，b，c，则为()A(ab)c B(ca)bC(bc)a Da(bc)【解析】选C.(
2、)a(bc).4如图所示，在三棱柱ABCABC中，与是_向量(用“相等”“相反”填空)，与是_向量(用“共面”“不共面”填空).【解析】根据三棱柱的性质，ACAC，ACAC，所以与是相反向量，又ABAB，所以与是共面向量答案：相反共面5如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用a，b，c表示向量.【解析】因为M是D1D的中点，所以()abc. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1在空间四边形OABC中，等于()A B C D【解析】选C.根据向量的加法、减法法则，得.2设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则
3、四边形ABCD是()A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D矩形【解析】选A.因为，所以.所以ABDC且|AB|DC|.所以四边形ABCD为平行四边形【误区警示】解答本题易忽视线段平行而无法判断四边形的形状3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若a，c，b，则可表示为()Aabc BabcCabc Dabc【解析】选A.()abc.4.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，AA1c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc BabcCabc Dabc【解析】选A.由题意，()abc.【补偿训练】平行六面体ABCDA1B1C1D1中
4、，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列式子中与相等的是()Aabc BabcCabc Dabc【解析】选A.因为平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，a，b，c，所以()cbaabc.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知，R，给出以下命题正确的是()A0，a0时，a与a的方向一定相同D0，a0时，a与a的方向一定相反【解析】选BCD.0，a0时，a与a的方向相反，由于长度不一定相等，故不一定为相反向量，A不正确；由数乘的定义及性质可知BCD均正确6在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算的结果为的是()
5、A() B()C() D()【解析】选ABCD.根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断()；()；()1；()所以4个式子的运算结果都是三、填空题(每小题5分，共10分)7化简(a2b3c)53(a2bc)_【解析】原式abcabc3a6b3cabcabc.答案：abc8已知点P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有2，则_【解析】3，2，2(1)，因为P，A，B，C四点共面，所以存在m，nR使得mn，所以解得m，n1，2.答案：2四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，P，Q分别为四边形ABCD的对角线BD，AC的中点，a，b，向量a，b不共线，试用a，b表示
6、向量.【解析】因为P，Q分别为四边形ABCD的对角线BD，AC的中点，a，b，向量a，b不共线，设G为CD中点，连接QG，PG，所以，b，a，所以ab.10.空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且，求证：四边形EFGH为梯形【证明】根据题意，因为，.又因为，所以，因为，又因为，所以().由得，所以，且|，又因为点F不在直线EH上，所以四边形EFGH为梯形1如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|_；|_【解析】取BD的中点H，连接AH，CH，因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以AHBD，CHBD，所以AHCHH，所以BD平面ACH，因为AC平面AHC，所以ACBD，过C作CGBD使CGEF，则，所以ACCG且AC2，CGBC1，所以|.因为点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以，所以|.答案：2在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足xyz(xyz1)，求|的最小值【解析】根据题意，可得因为点P满足xyz(xyz1)，所以y()z()，可得yzyz，所以点P是平面ABC内的一点又因为正四面体OABC各棱长都等于1，所以当点P与O在ABC上的射影重合时，|等于正四面体的高，此时|且|是最小值