1、专题45 数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列an是等差数列anpnq(p，q为常数).2. 数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).3. 已知Sn是等差数列an的前n项和，则也是等差数列，且其首项为a1，公差为an公差的.4.两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为.5.两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若，则.【典型题示例】例1 是公差为2的等差数列的前n项和，若数列也是等差数列，则_.【答案】或3【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差数列的结构特征解题.【解析一】（特殊值法）由题意，数列是等差数列，解得或，时，时，均为的一次函数，数列是等差数列，故
2、的值为1或3.【解析一】（特殊值法）由题意，数列是等差数列必为关于的一次式，即是完全平方式解之得或（下同解法一）例2 已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则 【答案】2【解析】因为是首项为2，公比为的等比数列所以为等比数列，则也为等比数列所以，即点评：等比数列通项的结构特征是：.例3 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 .【答案】5【解析】根据等差数列前项和的公式不难得到： （）（）式是一个关于的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量因为所以，要求使得
3、为整数的正整数，只需为的不小于的正约数所以例4 已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 020等于_.【答案】2 020【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则6d6，d1，且首项为2 014.故2 015d2 0142 0151，S2 02012 0202 020.【巩固训练】1.记等差数列an的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则 = . 2. 已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522，数列bn满足bn（其中c0），若bn为等差数列，则c的值等于_.3. 设等比数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若
4、对任意自然数n都有，则的值为_.4. 设，分别是等差数列，的前项和，已知，则 5.已知是等差数列的前项和，若，则数列的前20项和为 6. 已知数列的an的前n项和Sn，若an和都是等差数列，则的最小值是 . 【答案与提示】1.【答案】50【解析】设该等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得.又因为数列为等差数列，故.所以.2.【答案】【解析】设等差数列an的公差为d，且d0，由等差数列的性质，得a2a5a3a422，所以a3，a4是关于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通项为an1(n1)44n3.所以bn.法一（特殊值法）所以b1，b2，b3(c0)
5、.令2b2b1b3，解得c.当c时，bn2n，当n2时，bnbn12.故当c时，数列bn为等差数列.法二由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列.3.【答案】9【解析】联想等比数列的前n项和的结构特征，可知：，且 所以.4.【答案】 【提示】因为，所以. 5.【答案】55【解析】由等差数列的性质得也是等差数列，设，其公差为d且，所以，所以的前20项和即为的前20项和，故为.6.【答案】21【解析】设该等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得.又因为数列为等差数列，故.所以，当且仅当时，“=”成立.所以的最小值是21.
