1、第四节随机事件的概率【考纲下载】1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式1事件的分类2频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(
2、或AB)相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0,1(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则
3、P(AB)P(A)P(B)若事件A与B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)1概率和频率有什么区别和联系？提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率2互斥事件和对立事件有什么区别和联系？提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生所以两个事件互斥但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥1下列事件中，随机事件的个数为()物体在只受重力的作用下会
4、自由下落；方程x22x80有两个实根；某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；下周六会下雨A1 B2 C3 D4解析：选B为必然事件，为不可能事件，为随机事件2(教材习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球解析：选D对于A中的两个事件不互斥，对于B中的两个事件互斥且对立，对于C中的两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立3从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,17
5、5的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2 B0.3 C0.7 D0.8解析：选B由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为 10.20.50.3.4甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_解析：乙不输的事件为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的概率为.答案：5给出下列三个命题：有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率其中错误的命题有_个解析：错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等
6、于概率，这是两个不同的概念答案：3考点一随机事件的关系 例1(1)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则()AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件(2)判断下列给出的每对事件是互斥事件还是对立事件，并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都为110)中，任取一张“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”
7、与“抽出的牌点数大于9”自主解答(1)AB出现点数1或3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC(为所有基本事件的全集)，故事件B、C是对立事件(2)是互斥事件，不是对立事件原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件既是互斥事件，又是对立事件原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件，也不是对立事件原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽
8、出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件答案(1)D【方法规律】1互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件
9、：(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”解：任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件(3)“取出3只红球”与“取出3只
10、球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥其中必有一个发生，故对立(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件高频考点考点二 随机事件的频率与概率1随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也成为近几年高考的命题热点多以解答题的形式出现，有时也会以选择、填空题的形式出现多为容易题或中档题2高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度：(1)列出频率分布表；(2)由频率估计概率；(3)由频率计算某部分的数量例2(2013湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点
11、(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率自主解答(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下：Y51484
12、542频数2463所种作物的平均年收获量为46.(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48).【互动探究】若本例中的条件不变，试估计年收获量介于42,48之间的可能性解：依题意知：法一：P(42x48)P(x42)P(x45)P(x48).法二：P(42x48)1P(x51)1. 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略(1)补全或写出频率分布表可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率(2)由频率估计概率可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率(3)由频率估计某部分的数值可由频率估计概率，再
13、由概率估算某部分的数值某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：射击次数100120150100150160150击中飞碟数819512382119127121击中飞碟的频率 (1)将各次击中飞碟的频率填入表中；(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？解：利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.考点三互斥事件、对立事件的概率 例3(2013洛阳模拟)
14、经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？自主解答记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF
15、，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.【方法规律】求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1
16、张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A、B、C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”
17、为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.课堂归纳通法领悟1个难点对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性1个重点对互斥事件与对立事件的理解(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解：互斥事件研究的是两个事件之间的
18、关系；所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作.从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成的集合的补集，即AU，A.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件 易误警示(十三)忽视概率加法公式的应用条件致误典例抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(AB)解题指导由于AB中会有出现点数为1点，2点，3点，5
19、点四个互斥事件因此，可用概率加法公式解记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥故P(AB)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).名师点评1.如果审题不仔细，未对AB事件作出正确判断，误认为P(AB)P(A)P(B)，则易出现P(AB)1的错误2解决互斥事件的有关问题时，应重点注意以下两点：(1)应用加法公式时，一定要注意其前提条件是涉及的事件是互斥事件(2)对于事件P(AB)P(A)P(B)，只有当A、B互斥时，等号成立全盘巩固1给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件A与B的和事件的概
20、率一定大于事件A的概率；事件A与B互斥，则有P(A)1P(B)其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选C对立必互斥，互斥不一定对立，所以正确，错；又当ABA时，P(AB)P(A)，所以错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)1P(B)，所以错2从存放号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A0.53 B0.5 C0.47 D0.37解析：选A取到号码为奇数的卡片的次数为：1356181153，则所求的频率为0.53.3
21、某种产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为()A0.95 B0.97 C0.92 D0.08解析：选C记“抽检一件产品是甲级品”为事件A，“抽检一件产品是乙级品”为事件B，“抽检一件产品是丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.4从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是()A三个都是正品B三个都是次品C三个中至少有一个是正品D三个中至少有一个是次品解析：选C
22、16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，故C正确5从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162153148154165168172171173150151152160165164179149158159175根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率为()A. B. C. D.解析：选A从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm170.5 cm之间的学生
23、有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率为.6(2013舟山模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件解析：选D因为P(A)0.2，P(B)0.2，P(C)0.3，P(D)0.3，且P(A)P(B)P(C)P(D)1，所以A与BCD是互斥，也是对立事件7一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有
24、1个红球的概率为_解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1.答案：18抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)，P(B)，则出现奇数点或2点的概率为_解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件A的概率，“出现2点”的概率是事件B的概率，事件A，B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A)P(B).答案：9甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_解析：P10.20.250.95.答案：0.9510假设甲、乙两种品牌
25、的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有7570145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.11. (2014通
26、化模拟)有A、B、C、D、E五位工人参加技能竞赛培训现分别从A、B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次用如图所示茎叶图表示这两组数据 (1)A、B二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A、B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A、B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率解：(1)A的中位数是84，B的中位数是83.(2)派A参加比较合适理由如下：A(7580808385909295)85，B(7379818284889598)85，s(7585)2(8085)2(8085)2
27、(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241，s(7385)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9585)2(9885)260.5.AB，ssA的成绩较稳定，派A参加比较合适(3)任派两个(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种情况；A、B两人都不参加有(C，D)，(C，E)，(D，E)3种至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，所以P1.12(2012北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃
28、圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨的生活垃圾，数据统计如下(单位：吨).“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a0，abc600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为数据x1，x2，xn
29、的平均数解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()0.7，所以P(A)10.70.3.(3)当a600，bc0时，s2取得最大值因为(abc)200，所以s2(600200)2(0200)2(0200)280 000.冲击名校袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，由事件A和事件BCD是对立事件可得P(A)1P(BCD)1P(B)P(C)P(D)，即P(B)P(C)P(D)1P(A)1，联立可得P(B)，P(C)，P(D).即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，.
