1、考点规范练 48 直线与圆锥曲线 基础巩固 1.已知双曲线 =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.B.5 C.D.答案:D 解析:不妨设 =1 的渐近线 y=x 与 y=x2+1 只有一个交点,由 得 ax2-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即 c2-a2-4a2=0,=5,e=.故选 D.2.过双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F(1,0)作 x 轴的垂线与双曲线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若AOB 的面积为 ,则双曲线的渐近线方程为()A.y=x B.y=2 x C.y=2 x D.y=2x 答案:B 解析:由题意得|AB|=,
2、SAOB=,1=,.a2+b2=1,解得 a=,b=,双曲线的渐近线方程为 y=x=2 x.故选 B.3.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y=2x2上的两点,直线 l 是 AB 的垂直平分线.当直线 l 的斜率为 时,直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是()A.()B.)C.(2,+)D.(-,-1)答案:A 解析:设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程为 y=x+b,过点 A,B 的直线可设为 y=-2x+m,联立方程 -得 2x2+2x-m=0,从而有 x1+x2=-1,=4+8m0,m-.又 AB 的中点(-)在直线 l 上,即 m+1=-+b,得
3、m=b-,将 m=b-代入 4+8m0,得 b ,所以直线l 在 y 轴上的截距的取值范围是().4.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方),l 为 C 的准线,点 N在 l 上,且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为()A.B.2 C.2 D.3 答案:C 解析:由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,可得直线 MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x 联立,消去 y 得 3x2-10 x+3=0,解得 x1=,x2=3.因为 M 在 x 轴的上方,所以 M(3,2).因为 MNl,且 N 在 l 上,所
4、以 N(-1,2).因为 F(1,0),所以直线 NF:y=-(x-1).所以 M 到直线 NF 的距离为 -=2.5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为()A.2 B.C.D.答案:C 解析:设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,由 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0.则 x1+x2=-t,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|=-=(-)-,当 t=0 时,|AB|max=.6.已知双曲线 =1(a0,b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为 4,若抛物线 y=
5、ax2上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2=-,则 m 的值为()A.B.C.2 D.3 答案:A 解析:由双曲线的定义知 2a=4,得 a=2,所以抛物线的方程为 y=2x2.因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y=2x2上,所以 y1=2 ,y2=2 ,两式相减得 y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设 x1b0)的左焦点 F(-2,0),上顶点 B(0,2).(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的中点 G 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值.解
6、:(1)由题意可得,c=2,b=2,由 a2=b2+c2得 a2=22+22=8,所以 a=2.故椭圆 C 的方程为 =1.(2)设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 MN 的中点 G(x0,y0),由 消 y,得 3x2+4mx+2m2-8=0,则=96-8m20,所以-2 mb0)的左焦点为 F,离心率为 .直线 l:y=kx+m(m0)与 C交于 A,B 两点,AF 的中点为 M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 P(0,1),=-4,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.解:(1)设椭圆的右焦点为 F1,则 OM 为AFF1的中
7、位线.OM=AF1,MF=AF,|OM|+|MF|=a=5,e=,c=2,b=,椭圆 C 的方程为 =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).联立 消去 y 整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.0,x1+x2=-,x1x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-,P(0,1),=-4,(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,-+5=0,整理得 3m2-m-10=0,解得 m=2 或 m=-(舍去).直线 l 过定点(0,2).能力提升
8、10.已知双曲线 =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案:A 解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线 y=x.如图,|AD|=d1,|BC|=d2,过点 F 作 FECD 于点 E.由题易知 EF 为梯形 ABCD 的中位线,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因为点 F(c,0)到直线 y=x 的距离为 -=b,所以 b=3,b2=9.因为 e=2,a2+b2=c2,所以 a2=3,所以双曲线方程为
9、 =1.故选 A.11.设双曲线 x2-=1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .答案:(2,8)解析:由题意,知 a=1,b=,c=2,则 e=2.设 P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设 P 在右支上,由F1PF2为锐角三角形,可知1x|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)242,解得 x ,所以 x0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标缩为 2a,则 C 的离心率为 .答案:2+解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为 y=(x-c),与
10、 C 交于 P(x0,y0).x0=2a,y0=(2a-c).又 P(x0,y0)在双曲线 C 上,-=1.整理得 a2-4ac+c2=0,设双曲线 C 的离心率为 e,故 1-4e+e2=0.e1=2-(舍去),e2=2+.即双曲线 C 的离心率为 2+.13.如图,已知椭圆 C1:+y2=1,抛物线 C2:y2=2px(p0),点 A 是椭圆 C1与抛物线 C2的交点,过点 A 的直线 l 交椭圆 C1于点 B,交抛物线 C2于 M(B,M 不同于 A).(1)若 p=,求抛物线 C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点,求 p 的最大值.解:(1)由
11、p=,得 C2的焦点坐标是().(2)由题意可设直线 l:x=my+t(m0,t0),点 A(x0,y0).将直线 l 的方程代入椭圆 C1:+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点 M 的纵坐标 yM=-.将直线 l 的方程代入抛物线 C2:y2=2px,得 y2-2pmy-2pt=0,所以 y0yM=-2pt,解得 y0=,因此 x0=.由 =1,得 =4()+2()所以当 m=,t=时,p 取到最大值 .高考预测 14.已知椭圆 E:=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,右焦点 F 的坐标为(,0),点 P 坐标为(-2,2),且直线 PA1x 轴,过点 P
12、 作直线与椭圆 E 交于 A,B 两点(A,B 在第一象限且点 A 在点 B 的上方),直线 OP 与 AA2交于点 Q,连接 QA1.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设直线 QA1的斜率为 k1,直线 A1B 的斜率为 k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知 所以 b=1.所以椭圆 E 的方程为 +y2=1.(2)是定值,定值为-.设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 AB 过点 P(-2,2),设直线 AB 的方程为 x=my-2m-2,联立 -(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以 y1+y2=,y1y2=,因为点 Q 在直线 OP 上,所以可设 Q(-t,t).又 Q 在直线 AA2上,所以-t=-,所以 k1k2=-=-=-=-=-.
