1、12.1 三角函数的定义 预习课本 P1417，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点 P 的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？新知初探1三角函数的定义(1)前提准备：以角 的顶点 O 为坐标原点，以角 的始边的方向作为 x 轴的正方向，建立平面直角坐标系 xOy，如图所示设角 的终边上任一点 P(x，y)，OPr(r0)(2)定义：余弦函数：xr叫做角 的余弦，记作 cos，即 cos xr.正弦函数：yr叫做角 的正弦，记作 sin，即 sin yr.正切函数：yx叫做角 的正切，记作
2、tan，即 tan yx.正割函数：角 的正割 sec 1cos rx.余割函数：角 的余割 csc 1sin ry.余切函数：角 的余切 cot 1tan xy.点睛 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角 的大小有关，即由角 的终边位置决定2正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan k2，kZ3三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错
3、误的打“”)(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数()(2)若 sin sin，则.()(3)已知 是三角形的内角，则必有 sin 0.()答案：(1)(2)(3)2若 sin 0，则 在()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限答案：C3已知角 的终边与圆 x2y21 的交点 P55，2 55，则 sin cos()A.55B 55C.2 55D2 55答案：B4sin3_，cos34 _.答案：32 22三角函数的定义及应用典例 已知角 的终边经过点 P(4a,3a)(a0)，求 sin，cos，tan 的值解 r4a23a25|a|.若 a0，则 r5a
4、，故 sin yr3a5a35，cos xr4a5a 45，tan yx 3a4a34.若 a0，则 r5a.同理可得 sin 35，cos 45，tan 34.利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角 的终边在直线上求 的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值法二：在 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r0)则 sin yr，cos xr.已知 的终边求 的三角函数值时，用这几个公式更方便(2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 活学活
5、用1如果 的终边过点 P(2sin 30，2cos 30)，那么 sin 的值等于()A.12 B12C 32D 33解析：选 C 由题意知 P(1，3)，所以 r12 322，所以 sin 32.2已知角 的终边落在直线 3xy0 上，求 sin，cos，tan，sec，csc，cot 的值解：直线 3xy0，即 y 3x，则直线通过第二和第四象限在第二象限内取直线上的点(1，3)，则 r12 322，所以 sin 32，则 csc 232 33；cos 12，则 sec 2；tan 3，则 cot 33.在第四象限内取直线上的点(1，3)，则 r12 322，所以 sin 32，则 csc
6、 2 33；cos 12，则 sec 2；tan 3，则 cot 33.三角函数值符号的运用典例(1)若角 同时满足 sin 0 且 tan 0，则角 的终边一定位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)设 是第三象限角，且cos2 cos2，则2所在象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析(1)由 sin 0，可知 的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 y 轴的负半轴重合由 tan 0，可知 的终边可能位于第二象限或第四象限，故 的终边只能位于第四象限(2)是第三象限角，2k2k32，kZ.k22k34.2在第二、四象限又cos 2 cos 2，cos 20.2在
7、第二象限答案(1)D(2)B对于已知角，判断 的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理 活学活用1设ABC 的三个内角为 A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是()Atan A 与 cos BBcos B 与 sin CCsin C 与 tan ADtanA2与 sin C解析：选 D 0A，0A22，tanA20；又0C，sin C0.2若角 是第二象限角，则点 P(sin，cos)在第_象限解析：为第二象限角，sin 0，cos 0.P(sin，cos)位于第四象限答案：四求三角函数的定义域典例 求函数 f(x)sin x
8、lg cos xtan x的定义域解 要使 f(x)有意义，则sin x0，cos x0，tan x0，xk2，kZ，所以2kx2k，kZ，2k2x2k2，kZ，xk2，xk，kZ.解得：2kx2k2，kZ.所以原函数的定义域为x2kx2k2，kZ.求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集 活学活用 求下列函数的定义域：(1)ysin xcos x
9、tan x；(2)y cos x tan x.解：(1)要使函数式有意义，需 tan x0，解得 xk(kZ)要使 tan x 有意义，需 xk2(kZ)，解得 xk2(kZ)所以函数的定义域为xxk2，kZ.(2)由题意得cos x0，tan x0.x2k，kZ，由 cos x0 得 x 的终边在 y 轴上，或第一象限，或第四象限，或在 x 轴非负半轴上由tan x0，得 tan x0，则角 x 的终边在第二象限，或第四象限，或在 x 轴上综上，角 x 的终边在第四象限或 x 轴非负半轴上所以函数的定义域为x2 2kx2k，kZ.层级一 学业水平达标1若 23，则 的终边与圆 x2y21 的
10、交点 P 的坐标是()A.12，32 B.12，32C.32，12D.12，32解析：选 B 设 P(x，y)，角 23 在第二象限，x12，y1122 32，P12，32.2若角 的终边上一点的坐标为(1，1)，则 cos 等于()A1B1C.22D 22解析：选 C 角 的终边上一点的坐标为(1，1)，它与原点的距离 r 1212 2，cos xr 12 22.3若三角形的两内角，满足 sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能解析：选 B sin cos 0，cos 0，则实数 a 的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3)D2
11、,3解析：选 A 由 cos 0，sin 0 可知，角 的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上，所以有3a90，a20，即2a3.2设 a0，角 的终边与圆 x2y21 的交点为 P(3a,4a)，那么 sin 2cos 的值等于()A.25 B25C.15D15解析：选 A 点 P 在圆 x2y21 上，则|OP|1.即 3a24a21，解得 a15.a0，a15.P 点的坐标为35，45.sin 45，cos 35.sin 2cos 4523525.3若 tan x0，且 sin xcos x0，则角 x 的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 D tan x0，角
12、 x 的终边在第二、四象限，又 sin xcos x0，角 x 的终边在第四象限4已知角 的终边经过点 P(m，6)，且 cos 45，则 m()A8B8C4D4解析：选 B 由题意 r|OP|m262 m236，故 cos mm23645，解得 m8.5已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_.解析：|OP|42y2.根据任意角三角函数的定义得，y42y2 2 55，解得 y8.又sin 2 55 0 及 P(4，y)是角 终边上一点，可知 为第四象限角，y8.答案：86设 02，若 sin 0 且 cos 20，则
13、的取值范围是_解析：因为 02 且 sin 0，所以 2.又 cos 20，所以 2k222k32，kZ，所以 k4k34，kZ.因为 2，所以 k1，即 的取值范围是54 74.答案：54，747求下列函数的定义域：(1)f(x)2log12 xtan x；(2)f(x)cos x.解：(1)由题意得2log12 x0，xk2kZ，即0 x4，xk2kZ.解得 0 x2或2x4，所以原函数的定义域为0，2 2，4.(2)若使函数有意义，则需满足 cos x0，即 2k2x2k2，kZ.函数的定义域为2k2，2k2，kZ.8已知1|sin|1sin，且 lg(cos)有意义(1)试判断角 所在
14、的象限(2)若角 的终边上一点是 M35，m，且|OM|1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin 的值解：(1)由1|sin|1sin，所以 sin 0，所以 是第四象限角(2)因为|OM|1，所以 352m21，得 m45.又 为第四象限角，故 m0，从而 m45，sin yr m|OM|451 45.12.2 单位圆与三角函数线预习课本 P1921，思考并完成以下问题(1)点的射影是如何定义的？(2)三角函数线是如何定义的？新知初探1单位圆把半径为 1 的圆叫做单位圆2单位圆中角 的坐标角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标3点的射影及三角函数线(1)点的射影(2
15、)三角函数线小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线()答案：(1)(2)(3)2已知角 的正弦线的长度为单位长度，那么角 的终边()A在 x 轴上 B在 y 轴上C在直线 yx 上D在直线 yx 上答案：B3角(0”或“三角函数线的作法典例 作出34 的正弦线、余弦线和正切线解 在直角坐标系中作单位圆，如图，以 Ox 轴为始边作34 角，角的终边与单位圆交于点 P，作 PMx 轴，垂足为 M，由单位圆与 x 轴正方向的交点 A 作 x 轴的垂线
16、，与 OP 的反向延长线交于 T 点，则 sin 34 MP，cos34 OM，tan34AT，即34 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.三角函数线的作法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点 T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线 活学活用 作出94 的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，94 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.三角函数线的应
17、用题点一：利用三角函数线比较大小1利用三角函数线比较下列各组数的大小：sin 23 与 sin 45；tan 23 与 tan 45.解：如图所示，角23 的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线的交点为 T，作 PMx 轴，垂足为 M，sin 23 MP，tan 23 AT；45 的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线的交点为 T，作 PMx 轴，垂足为 M，则 sin 45 M P ，tan 45 AT，由图可见，|MP|M P|，且 MP 与 M P 都与 y 轴正方向相同，所以sin23 sin45；|AT|AT|，且 AT 与 A
18、T 都与 y 轴正方向相反，所以tan23 tan45.题点二：利用三角函数线解不等式2在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 的集合：(1)sin 32；(2)cos 12.解：(1)作直线 y 32 交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图阴影部分)即为角 的终边的范围，故满足条件的角 的集合为|2k32k23，kZ.(2)作直线 x12交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为|2k23 2k43，kZ题点三：利用三角函数线求函数的定义域3
19、求函数 f(x)12cos xlnsin x 22的定义域解：由题意，得自变量 x 应满足不等式组12cos x0，sin x 22 0，即cos x12，sin x 22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为|2k32k34，kZ.1利用三角函数线比较大小的两个关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向2利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于 sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是恰
20、当地寻求点，只需作直线 yb 或 xa 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围(2)正切型不等式的解法对于 tan xc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围3利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角 的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想 层级一 学业水平达标1角5和角65 有相同的()A正弦线 B余弦线C正切线D不能确定解析：选 C 在同一坐标系内作出角5和角65
21、的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等2已知角 的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角 的终边在()A直线 yx 上B直线 yx 上C直线 yx 上或直线 yx 上Dx 轴上或 y 轴上解析：选 C 由角 的正切线是长度为单位长度的有向线段，得 tan 1，故角 的终边在直线 yx 上或直线 yx 上3设 asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有()AabcBbacCcabDac0，ctan(1)AT0，asin(1)MPAT，ca1Bsin cos 1Csin cos 1.6若角 的余弦线长度为 0，则它的正弦线的长度为_解析：若角 的余弦线长度为 0，则 的终
22、边落在 y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17用三角函数线比较 sin 1 与 cos 1 的大小，结果是_解析：如图，sin 1MP，cos 1OM.显然 MPOM，即 sin 1cos 1.答案：sin 1cos 18若 34，32，则 sin 的取值范围是_解析：由图可知 sin34 22，sin32 1，1sin 22，即 sin 1，22.答案：1，229作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)6；(2)56.解：(1)如图(1)所示，在单位圆中 ON，OM，AT 分别表示6角的正弦线、余弦线、正切线(2)如图(2)所示，在单位圆中 ON，OM，AT 分别表示56 角的正弦
23、线、余弦线、正切线10求下列函数的定义域(1)ylg22 sin x.(2)y3tan x 3.解：(1)为使 ylg22 sin x 有意义，则 22 sin x0，所以 sin x 22，所以角 x 终边所在区域如图所示，所以 2k54 x2k4，kZ.所以原函数的定义域是x|2k54 x2k4，kZ.(2)为使 y3tan x 3有意义，则 3tan x 30，所以 tan x 33，所以角 x 终边所在区域如图所示，所以 k6xk2，kZ，所以原函数的定义域是x|k6xk2，kZ.层级二 应试能力达标1下列三个命题：6与56 的正弦线相等；3与43 的正切线相等；4与54 的余弦线相等
24、其中正确命题的个数为()A1 B2C3D0解析：选 B 6和56 的正弦线关于 y 轴对称，大小相等，方向相同；3和43 两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；4和54 的余弦线方向不同2若 是三角形的内角，且 sin cos 23，则这个三角形是()A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：选 D 当 02时，由单位圆中的三角函数线知，sin cos 1，而 sin cos 23，必为钝角3如果42，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 解析：选 A 如图所示，在单位圆中分别作出
25、的正弦线 MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出|OM|MP|AT|，且都与坐标轴的正方向相同即 cos sin tan.4使 sin xcos x 成立的 x 的一个变化区间是()A.34，4B.2，2C.4，34D0，解析：选 A 如图，画出三角函数线 sin x MP，cos x OM，由于sin34 cos34，sin 4cos 4，为使 sin xcos x 成立，则由图可得34 x4.5sin 25，cos 65，tan 25 从小到大的顺序是_解析：由图可知：cos 65 0，sin 25 0.|MP|AT|，且 MP，AT 与 y 轴正方向相同，sin 25 tan 25
26、.故 cos 65 sin 25 tan 25.答案：cos 65 sin 25 tan 256若 02，且 sin 12.利用三角函数线，得到 的取值范围是_解析：利用三角函数线得 的终边落在如图所示AOB 区域内，所以 的取值范围是0，3 53，2.答案：0，3 53，27利用单位圆中的三角函数线，分别确定角 的取值范围(1)sin 12；(2)12cos 32.解：(1)图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，即 56 2k62k，kZ.(2)图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，即 2k23 2k6或 2k62k23，kZ.8若 02，证明：sin tan.证明：如图所示，连接 AP，设
27、弧 AP 的长为 l，SOAPS 扇形 OAPSOAT，12|OA|MP|12l|OA|12|OA|AT|，|MP|l|AT|，sin tan.12.3 同角三角函数的基本关系式预习课本 P2224，思考并完成以下问题(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知 sin，cos 和 tan 其中的一个值，如何求其余两个值？新知初探同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_sin cos k2，kZ.这就是说，同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 的正切k2，kZ.点睛 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，
28、这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式成立与角的表达形式无关，如 sin23cos231.小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231 都成立()(2)对任意角，sin 2cos 2tan 2 都成立()(3)若 cos 0，则 sin 1.()答案：(1)(2)(3)2已知 0，2，sin 35，则 cos()A.45 B45C17D.35答案：A3已知 cos 12，且 是第四象限角，则 sin()A12 B 32 C 32 D12答案：C4已知 sin 513，2，则 tan _.
29、答案：512利用同角基本关系式求值典例(1)已知 sin 1213，并且 是第二象限角，求 cos 和 tan.(2)已知 sin 2cos 0，求 2sin cos cos2 的值解(1)cos21sin21121325132，又 是第二象限角，所以 cos 0，cos 513，tan sin cos 125.(2)由 sin 2cos 0，得 tan 2.所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21 4141 1.1求三角函数值的方法(1)已知 sin(或 cos)求 tan 常用以下方式求解(2)已知 tan 求 sin(或 cos)常
30、用以下方式求解当角 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 分区间(象限)讨论2已知角 的正切求关于 sin，cos 的齐次式的方法(1)关于 sin，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、分母同除以 cos 的 n 次幂，其式子可化为关于 tan 的式子，再代入求值(2)若无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 sin2cos2 来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于 tan 的式子，再代入求值活学活用(1)已知 cos 45，求 sin 和 tan.(2)已知 tan 2，试求2sin 3co
31、s cos sin 的值解：(1)sin21cos21452 352，因为 cos 450，cos 0，所以原式sin cos|cos|sin|sin cos cos sin 1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的 活学活用 化简：(1)sin 1cos tan sin tan sin；(2)1tan cos211tan sin2.解：
32、(1)原式 sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 21cos2 sin 1cos 1cos|sin|1.(2)原式cos sin cos cos2sin cos sin sin2 cos2sin cos sin2sin cos cos2sin21.证明简单的三角恒等式典例 求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .证明 法一：左边tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan
33、sin tan sin 右边，原等式成立法二：右边tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan sin tan sin 左边，原等式成立法三：左边tan sin tan tan cos sin 1cos，右边tan tan cos tan sin 1cos sin 1cos2sin 1cos sin2sin 1cos sin 1cos，左边右边，原等式成立法四：tan sin tan sin tan sin tan sin tan2
34、sin2tan2sin2tan sin tan sin tan2sin2tan2sin2tan sin tan sin tan2sin21sin2tan sin tan sin tan2cos2sin2tan sin tan sin sin2sin2tan sin tan sin 0，tan sin tan sin tan sin tan sin .法五：(tan sin)(tan sin)tan2sin2tan2tan2cos2tan2(1cos2)tan2sin2，tan sin tan sin tan sin tan sin .证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，
35、一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想(4)比较法：即证左边右边0 或证左边右边1.活学活用 求证：2(1sin)(1cos)(1sin cos)2.证明：法一：左边22sin 2cos 2sin cos 1sin2cos22sin cos 2(cos sin)12(cos sin)(cos sin)2(1sin cos)2右边法二：左边22sin 2cos 2sin cos，右边1sin2
36、cos22sin 2cos 2sin cos 22sin 2cos 2sin cos，左边右边.sin cos 型求值典例 已知 sin cos 12(0)，求 sin cos 和 sin cos 的值解 因为 sin cos 12(00，所以 sin cos sin cos 24sin cos 122438 72.已知 sin cos，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉及的三角恒等式有：(sin cos)212sin cos；(sin cos)212sin cos；(sin cos)2(sin cos)22；(sin cos)2(sin cos)24sin
37、 cos.上述三角恒等式告诉我们，已知 sin cos，sin cos，sin cos 中的任何一个，则另两个式子的值均可求出 活学活用1已知 0，且 sin cos 15，求 sin cos，tan 的值解：sin cos 15，(sin cos)2 125.解得 sin cos 1225.00，sin 0，cos 0.sin cos sin cos 2 12sin cos 1242575.由sin cos 15，sin cos 75，得sin 45，cos 35，tan sin cos 43.2若 0，sin cos 60169，求 sin cos.解：0，sin cos 601690，c
38、os 0.sin cos sin cos 2 12sin cos 12 60169 2891691713.层级一 学业水平达标1(福建高考)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125 B125C.512D 512解析：选 D 因为 sin 513，且 为第四象限角，所以 cos 1213，所以 tan 512，故选 D.2若 为第三象限角，则cos 1sin22sin 1cos2的值为()A3B3C1D1解析：选 B 为第三象限角，原式 cos cos 2sin sin 3.3下列四个结论中可能成立的是()Asin 12且 cos 12Bsin 0 且 cos 1
39、Ctan 1 且 cos 1D 是第二象限角时，tan sin cos 解析：选 B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当 时，sin 0 且 cos 1，故 B 成立，而 A、C、D 都不成立4已知 sin 55，则 sin4cos4 的值为()A35B15C.15D.35解析：选 A sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2(1sin2)2sin212552135.5若 是三角形的最大内角，且 sin cos 35，则三角形是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等腰三角形解析：选 B 将 sin cos 35两边平方，得 12sin cos 925，即
40、2sin cos 1625.又 是三角形的内角，sin 0，cos 0，为锐角6若 sin 22，tan 0，则 cos _.解析：由已知得 是第三象限角，所以 cos 1sin21 222 22.答案：227化简：12sin 40cos 40_.解析：原式 sin240cos2402sin 40cos 40sin 40cos 402|cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案：cos 40sin 408已知 tan 12，则12sin cos sin2cos2 _.解析：12sin cos sin2cos2 sin cos 2sin2cos2sin cos sin cos ta
41、n 1tan 1121121123213.答案：139化简：(1)cos 36 1cos23612sin 36cos 36；(2)sin cos tan 1.解：(1)原式cos 36 sin236sin236cos2362sin 36cos 36cos 36sin 36cos 36sin 362 cos 36sin 36|cos 36sin 36|cos 36sin 36cos 36sin 361.(2)原式sin cos sin cos 1cos sin cos sin cos cos.10已知 sin cos 33，求 tan 1tan 及 sin cos 的值解：将 sin cos 3
42、3 两边平方，得 sin cos 13.tan 1tan 1sin cos 3，(sin cos)212sin cos 12353，sin cos 153.层级二 应试能力达标1已知 tan 12，且，32，则 sin 的值是()A 55 B.55C.2 55D2 55解析：选 A，32，sin 0.由 tan sin cos 12，sin2cos21，得 sin 55.2化简1sin 1tan (1cos)的结果是()Asin Bcos C1sin D1cos 解析：选 A 1sin 1tan (1cos)1sin cos sin (1cos)1cos sin(1cos)1cos2sin s
43、in2sin sin.3已知 是第三象限角，且 sin4cos459，则 sin cos 的值为()A.23B 23C.13D13解析：选 A 由 sin4cos459，得(sin2cos2)22sin2cos259.sin2cos229.是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos 23.4已知sin cos sin cos 2，则 sin cos 的值是()A.34B 310C.310D 310解析：选 C 由条件得 sin cos 2sin 2cos，即 3cos sin，tan 3，sin cos sin cos sin2cos2 tan 1tan23132 310.5已知 s
44、in cos 18，且 54，则 cos sin _.解析：因为 54，所以 cos 0，sin 0.利用三角函数线，知 cos sin，所以 cos sin 0，所以 cos sin cos sin 21218 32.答案：326若 sin cos 1，则 sinncosn(nZ)的值为_解析：sin cos 1，(sin cos)21，又 sin2cos21，sin cos 0，sin 0 或 cos 0，当 sin 0 时，cos 1，此时有 sinncosn1；当 cos 0 时，sin 1，也有 sinncosn1，sinncosn1.答案：17已知tan212tan 13，2，.(
45、1)求 tan 的值；(2)求sin 2cos 5cos sin 的值解：(1)由tan212tan 13，得 3tan22tan 10，即(3tan 1)(tan 1)0，解得 tan 13或 tan 1.因为 2，所以 tan 0，sin 1cos21 35245.sin(2)sin()sin 45.2设 f(x)asin(x)bcos(x)，其中 a，b，R，若 f(2 015)5，则 f(2 016)等于()A4B3C5D5解析：选 C f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)asin bcos 5，f(2 016)asin(2 016)bcos(2 016)asi
46、n bcos 5.3若，的终边关于 y 轴对称，则下列等式成立的是()Asin sin Bcos cos Ctan tan Dsin sin 解析：选 A 法一：，的终边关于 y 轴对称，2k 或 2k，kZ，2k 或 2k，kZ，sin sin.法二：设角 终边上一点 P(x，y)，则点 P 关于 y 轴对称的点为 P(x，y)，且点 P与点 P到原点的距离相等，设为 r，则 sin sin yr.4 下 列 三 角 函 数 式：sin 2n34；cos 2n6；sin 2n3；cos2n16；sin2n13.其中 nZ，则函数值与 sin3的值相同的是()ABCD解析：选 C 中 sin2
47、n34 sin34 sin3；中，cos2n6 cos6sin3；中，sin2n3 sin3；中，cos2n16 cos6 cos6sin3；中，sin2n13 sin3 sin3 sin3.5化简：cos585sin 495sin570的值是_解析：原式cos360225sin360135sin210360cos 225sin 135sin 210cos18045sin18045sin18030cos 45sin 45sin 30 2222 12 22.答案：226已知 f(x)sin x，x0，则 f116 f116 的值为_解析：因为 f116 sin116sin26 sin612；f1
48、16 f 56 1f16 2sin6 212252.所以 f116 f116 2.答案：27计算与化简(1)tan2sin2cos6cos sin5；(2)sin 420cos 330sin(690)cos(660)解：(1)原式tansincoscos sintan sin cos cos sin tan.(2)原式sin(36060)cos(36030)sin(236030)cos(236060)sin 60cos 30sin 30cos 60 32 32 12121.8已知1tan7201tan36032 2，求：cos2()sin()cos()2sin2()1cos22的值解：由1ta
49、n7201tan36032 2，得(42 2)tan 22 2，所以 tan 22 242 2 22，故原式(cos2sin cos 2sin2)1cos21tan 2tan21 22 22222 22.第二课时 诱导公式(四)预习课本 P3132，思考并完成以下问题(1)2 的终边与 的终边有怎样的对称关系？(2)诱导公式四有何结构特征？新知初探诱导公式诱导公式(四)角 与 2的三角函数间的关系cos2 sin_，sin2 cos_诱导公式(四)的补充角 与2 的三角函数间的关系cos2 sin_，sin2 cos_点睛 诱导公式(四)不同于前面的三个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发
50、生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)诱导公式四中的角 只能是锐角()(2)sin(90)cos.()答案：(1)(2)2已知 sin52 15，那么 cos()A25 B15C.15D.25答案：C3若 cos2 12，则 cos2()A12B.12C 32D.32答案：A4化简：sin32 _.答案：cos 利用诱导公式化简典例 化简：sin2 cos2cossincos2sin.解 sin2 cos，cos2 sin，cos()cos，sin()sin，cos2 sin，sin()sin，原式cos si
51、n cos sin sin sin sin sin 0.用诱导公式进行化简的要求(1)化简后项数尽可能的少(2)函数的种类尽可能的少(3)分母不含三角函数的符号(4)能求值的一定要求值(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等 活学活用 化简：(1)cossinsin2 cos2；(2)sin(5)cos2 sin32 cos(2)解：(1)原式cossin sin2(sin)cossin sin2(sin)cos sin (cos)(sin)cos2.(2)原式sin()cos2cos cos(2)sin()cos2 cos cos(2)sin()sin cos cos sin2c
52、os21.利用诱导公式证明恒等式典例 求证：2sin32 cos2 112sin2tan91tan1.证明 左边2sin32 sin 112sin22sin2sin 112sin22sin2 sin 112sin22cos sin 1cos2sin22sin2sin cos 2sin2cos2 sin cos sin cos.右边tan 1tan 1sin cos sin cos.左边右边，故原式成立三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基
53、本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法 活学活用 求证：cos2sin52 sin(2)cos(2)sin2.证明：左边cos2sin2sin(2)cos sin cos(sin)cos sin cos sin cos sin2右边，故原式成立.利用诱导公式求值典例 已知coscos sin32 158，求cos2cossin2 sin32 的值解 coscos sin32 1cos cos cos 111cos 58，cos 35.cos2cossin2 sin32 cos cos cos cos 11cos 113552.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导
54、公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少(2)对于 和2 这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名 活学活用 已知 cos(75)13，求 cos(105)sin(15)的值解：cos(105)sin(15)cos180(75)sin90(75)cos(75)cos(75)23.层级一 学业水平达标1若 sin2 0，则 是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：选 B 由于 sin2 cos 0，所以角 的终边落在第二象限，故选 B.2已知 sin 15，则 cos(450)的值是()A.15B15
55、C2 65D.2 65解析：选 B cos(450)cos(90)sin 15.3已知 cos2 32，且|2，则 tan 等于()A 33B.33C 3D.3解析：选 C 由 cos2 sin 32，得 sin 32.又|2，3，tan 3.4已知 tan 2，则sin2 cossin2 sin()A2B2C0 D.23解析：选 B sin2 cossin2 sincos cos cos sin 21tan 2122.5若角 A，B，C 是ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是()Acos(AB)cos CBsin(AB)sin CCcosAC2sin BDsinBC2cosA2解析：
56、选 D ABC，ABC，cos(AB)cos C，sin(AB)sin C，故 A，B 错ACB，AC2B2，cosAC2cos2B2 sinB2，故 C 错BCA，sinBC2sin2A2 cosA2，故 D 正确6sin 95cos 175的值为_解析：sin 95cos 175sin(905)cos(1805)cos 5cos 50.答案：07若 sin2 35，则 cos2sin2_.解析：sin2 cos 35，从而 sin21cos21625，所以 cos2sin2 725.答案：7258化简：sin(7)cos32 _.解析：原式sin(7)cos32 sin()cos2sin(
57、sin)sin2.答案：sin29已知 sin()13.求：(1)cos32；(2)sin2.解：sin()sin 13，sin 13.(1)cos32 cos32 sin 13.(2)sin2 cos，cos21sin211989.sin 13，为第一或第二象限角当 为第一象限角时，sin2 cos 2 23.当 为第二象限角时，sin2 cos 2 23.10已知 cos2 13，求值：sin2 cos2cossincos32 sin.解：原式cos sin cos sin sin sin sin sin 2sin.又 cos2 13，所以sin 13.所以原式2sin 23.层级二 应试
58、能力达标1若 sin()cos2 m，则 cos32 2sin(6)的值为()A23m B32mC.23mD.32m解析：选 B sin()cos2 m，即sin sin 2sin m，从而 sin m2，cos32 2sin(6)sin 2sin 3sin 32m.2已知 f(x)sin x，下列式子成立的是()Af(x)sin x Bf(2x)sin xCfx2 cos xDf(x)f(x)解析：选 C f(x)sin(x)sin x；f(2x)sin(2x)sin(x)sin x；fx2 sinx2 sin2x cos x；f(x)sin(x)sin xf(x)，故选 C.3已知 为锐角
59、，2tan()3cos2 50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A.3 55B.3 77C.3 1010D.13解析：选 C 由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10.tan 3，又tan sin cos，9sin2cos2 sin21sin2，sin2 910，为锐角，sin 3 1010，选 C.4已知 cos(60)13，且18090，则 cos(30)的值为()A2 23B.2 23C 23D.23解析：选 A 由18090，得120600，所以906030，即15090，所以 12030180，cos(30)0，所以 cos(30)sin(60)1c
60、os2601 1322 23.5tan(45)tan(45)_.解析：原式sin45cos45sin45cos45sin45cos45sin9045cos9045sin45cos45cos45sin451.答案：16sin21sin22sin23sin288sin289sin290的值为_解析：sin21sin289sin21cos211，sin22sin288sin22cos221，sin2xsin2(90 x)sin2xcos2x1(1x44，xN)，原式(sin21 sin289)(sin22 sin288)(sin244 sin246)sin290sin24545222912.答案：9
61、127已知 f()sin3cos2sin32cossin.(1)化简 f()；(2)若 是第三象限的角，且 cos32 15，求 f()的值解：(1)f()sin3cos2sin32cossinsin cos cos cos sin cos.(2)因为 cos32 sin，所以 sin 15.又 是第三象限的角，所以 cos 11522 65.所以 f()2 65.8已知 sin(3)2cos32 ，cos()63 cos()，且 0，0，求sin 和 cos 的值解：由已知，得 sin 2sin，3cos 2cos，由22，得 sin23cos22，即 sin23(1sin2)2，所以 sin212.又 0，则 sin 22.将 sin 22 代入，得 sin 12.又 0，故 cos 32.
