1、11.3充分条件和必要条件1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明1充分条件和必要条件“若p，则q”为真命题指当p成立时，q一定也成立，换句话说，p成立可以推出q成立在这种情况下，记作pq，并把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件当命题“若p则q”为假命题时，记p q在这种情况下，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件.2.充要条件(1)如果既有pq，又有qp，就记作pq.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，就叫作p是q的充分必要条件(2)概括地说：如果pq，那么p与q互
2、为充要条件1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立()答案：(1)(2)(3)2“0”是“sin 0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件，也是必要条件D既不充分也不必要条件答案：A3已知sin 0，则“tan 0”是“为第三象限角”的()A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：C4“log3Mlog3N”是“MN”成立的_条件答案：充分不必要充分、必要条件及充要条件的判断指出下列各组命题中，p是q的什
3、么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：函数f(x)2x1，q：函数f(x)是增函数；(3)p：ABC有两个角相等，q：ABC是等腰三角形；(4)p：，q：sin sin .【解】(1)因为ab0 a2b20，反过来，若a2b20ab0，所以p是q的必要不充分条件(2)因为函数f(x)2x1f(x)是增函数，但f(x)是增函数 f(x)2x1，所以p是q的充分不必要条件(3)因为pq且qp，所以p是q的充要条件(4)取150，30，但sin 150sin 30，即p q；反之，sin 60s
4、in 150，但60150不成立，则q p，所以p是q的既不充分也不必要条件充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若pq，q p，则p是q的充分不必要条件；若p q，qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，qp，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件(2)集合法对于集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，具体情况如下：若AB，则p是q的充分条件； 若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命
5、题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x21，q：x1；(3)p：ABC有三个内角相等，q：ABC是正三角形；(4)p：|ab|ab，q：ab0.解：(1)因为pq，qp，所以p是q的充分不必要条件(2)因为pq，qp，所以p是q的必要不充分条件(3)因为pq，qp，即pq，所以p是q的充要条件(4)因为ab0时，|ab|ab，所以“|ab|ab” “ab0”，即pq.而当ab0时，有|ab|ab，即qp.所以p是q的必要不
6、充分条件充要条件的证明证明：关于x的一元二次不等式x2pxq0的解集只有一个元素的充要条件是p24q.【证明】命题中的条件为p24q.必要性：解不等式x2pxq0.若p24q0，则不等式的解集为，不合题意若0，则x2pxq恒大于0，原不等式的解集为空集，不合题意所以，不等式x2pxq0的解集中只含有一个元素时，p24q0，即p24q.充分性：因为p24q，所以x2pxqx2px0，所以x0，即x.即原不等式的解集只有一个元素.综上可得：x2pxq0的解集只有一个元素的充要条件是p24q.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题
7、“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)因为ac0，所以方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x20，所以方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0，综上可知：一元二次方程ax2bxc0有
8、一正根和一负根的充要条件是ac1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若x1且y1，则有xy2成立，所以pq；反之由xy2不能得到x1且y1.所以p是q的充分不必要条件2已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分
9、不必要条件3设集合Mx|x2，Nx|x3，那么“xM或xN”是“xMN”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.xM或xN即xMN，因为(MN)(MN)，所以“xM或xN”是“xMN”的必要不充分条件4设a，b是向量则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D.取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|
10、ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件5函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1 Dm1解析：选A.当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.A基础达标1若向量a(x，3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选A.由x4知|a|5；反之，由|a|5，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要条件，故选A.2若集合A3，a2，B2，4
11、，则“a2”是“AB4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件，又是必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.若a2，则A3，4，可得AB4；若AB4，则a24，可得a2，所以“a2”是“AB4”的充分不必要条件3设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D.当数列an的首项a10时，若q1，则数列an是递减数列；当数列an的首项a10时，要使数列an为递增数列，则0q1，所以“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件4若aR，则“a2”是“(a1)(a2)0”的()A充
12、分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选A.由a2能得到(a1)(a2)0，但由(a1)(a2)0得到a1或a2，而不是a2，所以a2是(a1)(a2)0的充分而不必要条件5下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析：选A.要求ab成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出ab，而由ab推不出选项在选项A中，ab1能使ab成立，而ab时ab1不一定成立，故A正确；在选项B中，ab1时ab不一定成立，故B错误；在选项C中，a2b2时ab也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3b3是a
13、b成立的充要条件，故D也错误6不等式x23x20成立的充要条件是_解析：x23x20(x1)(x2)01x2.答案：1x27在ABC中，“sin Asin B”是“ab”的_条件解析：在ABC中，由正弦定理及sin Asin B可得2Rsin A2Rsin B，即ab；反之也成立答案：充要8设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：因为q：axa1，p是q的充分不必要条件，所以或解得0a.答案：下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：c0，q：抛物线yax2bxc(a0)过原点；(2)p：0x3，q：|x1|2.解：(1)c0
14、抛物线yax2bxc(a0)过原点；抛物线yax2bxc(a0)过原点c0.故p是q的充要条件，q是p的充要条件(2)0x3|x1|2，|x1|21x30x3.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件10已知p：x22x30，若ax1b恒成立的实数b的取值范围解：由于p：x22x301x3，ax1a1ax0)依题意，得x|1x3x|1ax0)，所以解得a2，则使ab恒成立的实数b的取值范围是b2，即(，2B能力提升11对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，下列结论正确的是()b24ac0是函数f(x)有零点的充要条件；b24ac0是函数f(x)有零点的充分条件；b24ac0是函数f
15、(x)有零点的必要条件；b24ac0是函数f(x)没有零点的充要条件A BC D解析：选D.b24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根f(x)ax2bxc(a0)有零点，故正确若b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有实根，因此函数f(x)ax2bxc(a0)有零点，故正确函数f(x)ax2bxc(a0)有零点时，方程ax2bxc0(a0)有实根，未必有b24ac0，也可能有0，故错误b24ac0方程ax2bxc0(a0)无实根函数f(x)ax2bxc(a0)无零点，故正确12下列各题中， p是q的充要条件的是_(填序号)p：m2或m6，q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1，q：y
16、f(x)为偶函数；p：cos cos ，q：tan tan ；p：ABA，q：UBUA.解析：对于，q：yx2mxm3有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m2或m6p.对于，当f(x)0时，qp.对于，若，k(kZ)，则有cos cos ，但没有tan tan ，pq.对于，p：ABAp：ABq：UBUA.答案：13求关于x的方程ax22x10至少有一个负的实数根关于a的充要条件解：当a0时，x符合题意当a0时，令f(x)ax22x1，由于f(0)10，当a0时，0，若44a0，则a1，即0a1时，f(x)有两个负实数根当a0时，因为f(0)1，44a0恒成立，所以方程恒有负实数根综上所述，a1为所求14(选做题)已知集合p：A，q：Bx|xm|1，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围解：先化简集合A，由yx2x1，配方，得y.因为x，所以y.所以A.由|xm|1，解得xm1或xm1.所以Bx|xm1或xm1因为命题p是命题q的充分条件，所以AB.所以m1或m12，解得m或m3.故实数m的取值范围是3，)
